毕奥-萨法尔定律

毕奥-萨法尔定律（Biot-Savart Law）描述了由稳恒电流元（或移动的电荷）在其周围空间某一点产生的磁感应强度

电流元¶

电流元（Current Element）是指承载电流的一个极其微小的部分

例如：电流元可以是细导线（粗细可忽略）上取的的极短的一段，也可以是导电的气体和液体中的一个体积微元

公式表述¶

线电流元：\(\displaystyle \hlt{I \,\d{\vec{l}}}\)

电流被限制在细长导体中
\(I\) 为电流强度，\(\d{\vec{l}}\) 为沿细导线电流方向的一个无限小的有向线段

体电流元：\(\displaystyle \hlt{\vec{j} \,\d{v}}\)

电流分布在于一定体积内
\(\vec{j}\) 为电流密度，\(\d{v}\) 为电流分布区域的一个体积微元

体电流元与线电流元的关系

如上图所示，考虑电流密度 \(\vec{j}\) 通过一个有向面积为 \(\dt{\vec{s}}\) 的截面。体积微元 \(\d{v} = \dt{\vec{s}} \cdot \d{\vec{l}}\)，其中，\(\d{\vec{l}}\) 为与 \(\vec{j}\) 方向一致的微元，体电流元

\[ \vec{j} \,\d{v} = \vec{j} \rb{\dt{\vec{s}} \cdot \d{\vec{l}} \;} = j \,\vec{e}_j \rb{\dt{\vec{s}} \cdot \d{l} \,\vec{e}_j} \]

其中，\(\vec{e}_j\) 为沿 \(\vec{j}\) 方向的单位矢量，\(j\) 和 \(\d{l}\) 都是标量，交换位置不影响结果，得到

\[ \d{l} \,\vec{e}_j \rb{\dt{\vec{s}} \cdot j \,\vec{e}_j} = \rb{\vec{j} \cdot \dt{\vec{s}}} \,\d{\vec{l}} = I \,\d{\vec{l}} \]

其中，\(I\) 为通过 \(\dt{\vec{s}}\) 的电流

从上面的推导可以看出，体电流元更具有一般性，在细导线中则特化为线电流元

激发的磁场¶

如下图所示，细导线 \(L\) 中的电流强度为 \(I\)，电流元 \(I \,\d{\vec{l}}\) 相对于原点 \(O\) 的位矢为 \(\vec{l}\)，该电流元在目标点 \(P\) 处激发的磁感应强度

\[ \hlt{ \d{\vec{B}} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \,\d{\vec{l}} \times \vec{e}_r}{r^2} \ \rb{\text{或}\ \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \,\d{\vec{l}} \times \vec{r}}{r^3} } } \tag{1} \label{eq:current_element1} \]

其中

\(\vec{r}\) 为点 \(P\) 相对于电流元的位矢，\(r = \abs{\vec{r}\tm}\)，\(\vec{e}_r = \vec{r}/r\)
\(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \mr{N \cdot A^{-2}}\)，为真空磁导率

当 \(\vec{l}\) 随着某个参数变化时，其末端的轨迹曲线即为 \(L\)

电流元 \(I \,\d{\vec{l}}\) 就是电流强度 \(I\) 与位矢 \(\vec{l}\) 的微分 \(\d{\vec{l}}\) 之积

当电流元为体元电流时，将式 \(\eqref{eq:current_element1}\) 中的 \(\d{\vec{l}}\) 替换为 \(\vec{j} \,\d{v}\)，得到

\[ \d{\vec{B}} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\vec{j} \times \vec{e}_r}{r^2} \,\d{v} \ \rb{\text{或}\ \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\vec{j} \times \vec{r}}{r^3} \,\d{v} } \]

总磁感应强度¶

与电场类似，磁场也具有可叠加性

整条通电细导线在目标点 \(P\) 处激发的磁感应强度为对式 \(\eqref{eq:current_element1}\) 求如下的曲线积分

\[ \vec{B} = \int_L \d{\vec{B}} = \int_L \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \,\d{\vec{l}} \times \vec{e}_r}{r^2} \]

其中，曲线 \(L\) 为细导线所在的空间曲线，积分的方向则沿着电流方向