安培环路定理

安培环路定理（Ampère's Circuital Law）是电磁学中的一个基本定理，描述了稳恒电流与其产生的磁场之间的关系

定理内容¶

在真空中，磁感应强度沿任意闭合路径（安培环路）的曲线积分，等于被该环路包围的电流的代数和，乘以真空磁导率

如上图所示，在真空中，磁感应强度为 \(B\) 的稳恒磁场沿闭合路径 \(L\)（安培环路）的曲线积分

\[ \hlt{\oint_L \vec{B} \cdot \d{\vec{l}} = \mu_0 \sum_i I_i^\mr{in}} \tag{1} \label{eq:anpere_circuital_law} \]

其中，\(\mu_0\) 为真空磁导率，\(\displaystyle \sum_i I_i^\mr{in}\) 为被环路 \(L\) 包围电流的代数和

若电流通过以闭合曲线（环路）\(L\) 为边缘的曲面，且无论曲面的形状如何变化，电流都会与曲面相交，就说该电流被环路 \(L\) 包围

正方向的确定：若电流的方向与环路方向呈右手螺旋关系，即当右手四指微弯沿安培环路中的环绕方向时，若拇指指向与电流方向一致，则该电流沿正方向，其值的符号为正；否则，该电流沿负方向，其值的符号为负

例如：在上图中，\(I_1^\mr{in}\) 和 \(I_3^\mr{in}\) 沿正方向，\(I_2^\mr{in}\) 和 \(I_4^\mr{in}\) 沿负方向

代数和的计算：将所有被安培环路包围且含有符号的电流值作代数相加

式 \(\eqref{eq:anpere_circuital_law}\) 中，电流的代数和可以拓展为如下包含电流密度 \(\vec{j}\) 的形式

\[ \sum_i I_i^\mr{in} = \int_S \vec{j} \cdot \d{\vec{s}} \]

其中，\(S\) 是一个以安培环路 \(L\) 为边缘的曲面。另一方面，根据斯托克斯定理，\(\vec{B}\) 的环量

\[ \oint_L \vec{B} \cdot \d{\vec{l}} = \int_S \nabla \times \vec{B} \cdot \d{\vec{s}} \]

将上述结果代入 \(\eqref{eq:anpere_circuital_law}\) 中，有

\[ \int_S \rb{\nabla \times \vec{B} - \mu_0 \vec{j}\tm} \cdot \d{\vec{s}} \]

考虑到安培环路 \(L\) 及以 \(L\) 为边缘的曲面 \(S\) 的任意性，得

\[ \hlt{\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{j}\tm} \]

这就是安培环路定理得微分形式，也是微分形式的静态麦克斯韦方程组的基本方程之一