磁通量和磁场高斯定理

磁感线¶

磁感线也称“磁力线”，是用来形象地描述磁场在空间中分布的一种假想曲线

磁感应强度方向：磁感线在任意一点的切线方向表示该点磁感应强度 \(\vec{B}\) 的方向

磁感应强度大小：磁感线的疏密程度表示磁场的强弱。磁感线越密集的地方磁场越强，反之则越弱

磁通量是用来定量描述穿过某个曲面的磁场“流量”的物理量，可以理解为穿过给定面积的磁感线的数量

磁通量是一个标量，通常用 \(\Phi_\mr{b}\) 表示，其国际标准单位为韦伯 \(\rb{\mr{Wb}}\)，\(1 \,\mr{Wb} = 1 \,\mr{T \cdot m^2}\)

如下图中 \(\rb{a}\) 图所示，磁感应强度为 \(\vec{B}\) 的匀强磁场垂直通过平面 \(\Sigma\)（与平面的法向单矢量方向一致），其上有一个面积为 \(S\) 的面元，则该匀强磁场对 \(S\) 的磁通量

\[ \Phi_\mr{b} = B \tm S \]

其中，\(B = \big|\vec{B}\tm \big|\) 为磁感应强度的大小

不难看出，磁通量在数值上就等于以 \(S\) 为底面，以 \(\big|\vec{B}\tm\big|\) 为高的直柱体的体积

当匀强磁通量 \(\vec{B}\) 倾斜通过面积为 \(S\) 的平面（与平面的法向单位矢量 \(\vec{n}\) 的夹角为 \(\theta\tm\)），其磁通量

\[ \hlt{ \Phi_\mr{b} = \vec{B} \cdot \vec{S} } \tag{1} \label{eq:fluxOfElmagneticField_1} \]

其中，\(\vec{S} = S \,\vec{n}\) 被称为面元的有向面积

如上图所示，当非匀强磁场 \(\vec{B}\) 通过曲面 \(S\) 时，其磁通量等于磁感应强度对各面积微元通量的总和，用公式表示如下

\[ \hlt{ \Phi_\mr{b} = \int_S \vec{B} \cdot \d{\vec{s}} } \tag{2} \label{eq:fluxOfElmagneticField_2} \]

其中，\(\d{\vec{s}}\) 是曲面上无穷小面积元的有向面积矢量

磁场的高斯定理描述了磁场的基本性质，即通过任意闭合曲面的磁通量总是零

磁感应强度为 \(\vec{B}\) 的磁场对于任意闭合曲面 \(S\) 磁通量均为零，可用公式表示为

\[ \hlt{ \Phi_\mr{b} = \oint_S \vec{B} \cdot \d{\vec{s}} = 0 } \tag{3} \label{eq:gaussLawOfElmagneticField} \]

其中，\(\d{\vec{s}}\) 是曲面 \(S\) 上无穷小面积元的有向面积矢量。该方程也是积分形式的麦克斯韦（Maxwell）方程组的基本方程之一

根据数学中的高斯定理（散度定理），公式 \(\eqref{eq:gaussLawOfElmagneticField}\) 中

\[ \oint_S \vec{B} \cdot \d{\vec{s}} = \int_V \rb{\nabla \cdot \vec{B}\tm} \,\d{v} = 0 \]

其中，\(V\) 为闭合曲面 \(S\) 包围的区域，\(\nabla \cdot \vec{B}\) 为 \(\vec{B}\) 的散度，\(\d{v}\) 为 \(V\) 中无穷小体积元

考虑到上式对于任意闭合曲面包围的区域 \(V\) 都成立，因此

\[ \hlt{ \nabla \cdot \vec{B} = 0 } \]

这就是磁场高斯定理的微分形式，也是微分形式的麦克斯韦方程组的基本方程之一

该定理意味着磁感线在空间中总是闭合的，没有起点和终点，反映了自然界中尚未发现磁单极子的事实