洛伦兹力和安培力

洛伦兹力¶

运动电荷在磁场中所受到的力称为洛伦兹力，即磁场对运动电荷的作用力

一个电荷量为 \(q\) 的粒子以速度 \(\vec{v}\) 在磁感应强度为 \(\vec{B}\) 的磁场中运动时，其所受的洛伦兹力

\[ \vec{F}_\mr{m} = q \tm {\vec{v} \times \vec{B}} \]

\(F_\mr{m}\) 的大小：\(F_\mr{m} = \abs{q} \tm v B \sin\theta\)，其中 \(\theta\) 是 \(\vec{v}\) 和 \(\vec{B}\) 之间的夹角
\(F_\mr{m}\) 的方向：垂直于由速度 \(\vec{v}\) 和磁感应强度 \(\vec{B}\) 构成的平面，其具体方向可由 右手定则 确定

由于洛伦兹力 \(\vec{F}_\mr{m}\) 始终垂直于电荷的运动速度 \(\vec{v}\)，所以它不对电荷做功（ \(\vec{F}_\mr{m} \cdot \vec{v} = 0\) ），只改变速度的方向，不改变速度的大小

安培力¶

载流导线在磁场中受到的力被称为安培力

对于一根载有电流 \(I\) 的导线，其一小段有向线元 \(\d{\vec{l}}\) 在磁场 \(\vec{B}\) 中所受的安培力为

\[ \d{\vec{F}_\mr{m}} = I \,\d{\vec{l}} \times \vec{B} \]

对于整条曲线导线 \(L\)，总的安培力为对线元的力进行积分

\[ \vec{F}_\mr{m} = \int_L I \,\d{\vec{l}} \times \vec{B} \]

若一根长度为 \(L\) 的平直导线处于匀强磁场 \(\vec{B}\) 中，则安培力公式简化为

\[ \vec{F}_\mr{m} = I \rb{\vec{L} \times \vec{B}} \]

其大小为 \(F_\mr{m} = I L B \sin\theta\)，其中 \(\theta\) 是导线方向与磁场方向的夹角

微观机制¶

安培力是导线中所有运动电荷所受洛伦兹力的宏观体现

考虑一段长度为 \(\d{l}\)，横截面积为 \(S\) 的导线。设导线中载流子的密度为 \(n\)，每个载流子带电荷 \(q\)，其定向漂移速度为 \(\vec{v}_\mr{d}\)

该小段导线内的载流子数量为 \(\d{N} = n S \,\d{l}\)

每个载流子所受的洛伦兹力为 \(\vec{f} = q \tm \rb{\vec{v}_\mr{d} \times \vec{B}}\)

因此，该导线段所受的总磁力（安培力）是所有载流子洛伦兹力的矢量和：

\[ \d{\vec{F}_\mr{m}} = \vec{f} \,\d{N} = q \tm \rb{\vec{v}_\mr{d} \times \vec{B}} \rb{n S \,\d{l}} = \rb{q \tm n \tm \vec{v}_\mr{d} S\,\d{l}} \times \vec{B} \]

\[ \begin{align*} \d{\vec{F}_\mr{m}} & = \vec{f} \,\d{N} = q \tm \rb{\vec{v}_\mr{d} \times \vec{B}} \rb{n S \,\d{l}} \\ & = \rb{q \tm n \tm \vec{v}_\mr{d} S \,\d{l}} \times \vec{B} \end{align*} \]

根据电流强度的定义 \(\ds I = q \tm n \tm v_\mr{d} S\)，并将上式中 \(\vec{v}_\mr{d}\) 的方向标记到 \(\d{\vec{l}}\) 上。即可得到微元受到的安培力的表达式：

\[ \d{\vec{F}_\mr{m}} = I \,\d{\vec{l}} \times \vec{B} \]

磁力矩¶

一个载流的闭合回路在均匀磁场中所受的净安培力为零，但通常会受到一个使其转动的力矩，即磁力矩

引入磁偶极矩矢量 \(\vec{m}\)，其定义为

\[ \vec{m} = N I \vec{S} \]

其中，\(N\) 是线圈匝数，\(I\) 是电流强度，\(\vec{S}\) 是回路的面积矢量，其方向由右手定则确定（四指方向为电流环绕方向，拇指方向即为 \(\vec{S}\) 的方向）

载流回路在匀强磁场 \(\vec{B}\) 中所受的磁力矩 \(\vec{\tau}\) 为

\[ \vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B} \]

其大小为 \(\tau = m B \sin\theta\)，其中 \(\theta\) 是磁偶极矩 \(\vec{m}\) 与磁场 \(\vec{B}\) 之间的夹角。该力矩会驱使电流回路转动，直至其磁偶极矩方向与外磁场方向平行