恒定电流

电流¶

电流是指电荷的定向移动，其中，这些作定向运动的带电粒子被称为“载流子”（如导体中的自由电子、溶液中的离子等）

电流的大小称为电流强度，通常用符号 \(I\) 表示，其国际标准单位为安培 \(\mr{\rb{A}}\)，\(1\,\mr{A}\) 等于 \(1 \,\mr{C}\) 的电荷在 \(1 \,\mr{s}\) 内通过某一截面

载流子在电场驱动下作定向运动形成的电流被称为“传导电流”，而随着带电物体作机械运动形成的电流则被称为“运流电流”

电流方向¶

规定正电荷定向移动的方向为电流的方向。在金属导体中，实际移动的是带负电的电子，其移动方向与规定的电流方向相反

公式表述¶

在 \(\dt{t}\) 时间内，若有总电荷量为 \(\dt{Q}\) 的载流子定向通过截面 \(S\)，则这段时间内的平均电流强度

\[ \bar{I} = \frac{\dt{Q}}{\dt{t}} \]

当 \(\dt{t} \to 0\) 时，可计算某个时刻的电流

\[ I = \lim_{\dt{t} \to 0} \frac{\dt{Q}}{\dt{t}} = \hlt{\frac{\d{Q}}{\d{t}}} \]

电流密度¶

电流密度是描述电路中某点电流强弱和流动方向的物理量

电流密度是一个矢量，其大小等于单位时间内通过垂直于电流方向的单位面积的电荷量，方向为该点正电荷的运动方向

电流密度通常用符号 \(\vec{j}\) 表示，其国际标准单位为 安培 \(\cdot\) 米\(^{-2}\) \(\mr{\rb{A \cdot m^{-2}\tm}}\)

公式表述¶

如上图所示，在点 \(P\) 处作一个面积为 \(\dt{s}\) 的微元截面，其法向单位矢量为 \(\vec{n}\)，设在 \(\dt{t}\) 的时间内，有 \(\dt{Q}\) 的电荷通过该微元截面，则点 \(P\) 处的电流密度

方向：与该点处正电荷运动方向一致
大小：

\[ j = \frac{\dt{Q}}{\dt{t} \dt{s} \cos\alpha} = \hlt{\frac{\dt{I}}{\dt{s} \cos\alpha}} \tag{1} \label{eq:electric_current_density} \]

其中，\(\alpha\) 为 \(\vec{n}\) 与 \(\vec{j}\) 的夹角

与电流的关系¶

由式 \(\eqref{eq:electric_current_density}\) 可知，通过微元截面的电流强度

\[ \dt{I} = j \tm \dt{s} \cos\alpha = \hlt{\vec{j} \cdot \dt{\vec{s}}} \]

其中，\(\dt{\vec{s}} = \dt{s} \,\vec{n}\)。因此，通过导体整个截面 \(S\) 的电流强度

\[ I = \lim_{\dt{s}_i\to 0} \sum_{i=1}^N \dt{I}_i = \lim_{\dt{s}_i\to 0} \sum_{i=1}^N \vec{j}_i \cdot \dt{\vec{s}_i} = \hlt{\int_S \vec{j} \cdot \dt{\vec{s}}} \]

\[ \begin{align} I & = \lim_{\dt{s}_i\to 0} \sum_{i=1}^N \dt{I}_i = \lim_{\dt{s}_i\to 0} \sum_{i=1}^N \vec{j}_i \cdot \dt{\vec{s}_i} \\ & = \hlt{\int_S \vec{j} \cdot \dt{\vec{s}}} \end{align} \]

电流连续性方程¶

电流的连续性方程是电荷守恒定律在电磁学中的数学表述。它反映了电荷既不会凭空产生，也不会凭空消失这一规律

该方程表明，任意区域内电荷量的变化率等于流入或流出该区域的净电流

积分形式¶

对于任意一个闭合曲面 \(S\)（取法向单位矢量朝外），从该曲面流出的净电流等于曲面内电荷量 \(Q^\mr{in}\) 随时间减少的速率，其公式表述为

\[ \hlt{ \oint_S \vec{j} \cdot \d{\vec{s}} = - \frac{\d{Q^\mr{in}}}{\d{t}} } \]

微分形式¶

在空间中的任意一点，电流密度 \(\vec{j}\) 的散度等于该点电荷体密度 \(\rho\) 随时间变化率的负值，其公式表述为

\[ \hlt{ \nabla \cdot \vec{j} = - \frac{\partial \rho}{\partial t} } \]

恒定电流条件¶

恒定电流（steady current）也称为“稳恒电流”，是指电流大小和方向在时间上不随时间变化的情况

公式表述¶

若电流是恒定的，则任意闭合曲面 \(S\) 内的电荷总量 \(Q^\mr{in}\) 或电荷密度 \(\rho\) 不随时间变化，根据电流的连续性方程可得下面两个等价的表达式

\[ \begin{align} & \hlt{\oint_S \vec{j} \cdot \d{\vec{s}} = 0} & \rb{\text{积分形式}} \tag{2} \label{eq:steady_current_condition1} \\ & \text{或者} \quad \hlt{\nabla \cdot \vec{j} = 0} & \rb{\text{微分形式}} \tag{3} \label{eq:steady_current_condition2} \end{align} \]

其中

式 \(\eqref{eq:steady_current_condition1}\) 表明，在恒定电流情况下，流入任一闭合曲面的电流等于从该曲面流出的电流
式 \(\eqref{eq:steady_current_condition2}\) 表明，在恒定电流场中，电流密度是一个无源场