静电场通量和高斯定理

电场线¶

电场线由迈克尔·法拉第首次提出，是为了形象地描述电场在空间中的分布情况而引入的一种假想曲线

方向：电场线上任意一点的切线方向代表了该点电场强度的方向

疏密：电场线的疏密程度表示电场的强弱。电场线越密集的地方电场越强，反之则越弱

特性¶

任意两条电场线在电场中的同一点不会相交
静电场的电场线起源于正电荷，终止于负电荷，且不会形成闭合回路
在均匀电场中（如平行板电容器内部），电场线是平行的且间距相等

电场通量¶

匀强电场对平面的通量¶

电场通量是用来定量描述穿过某个曲面的电场“流量”的物理量，它可以理解为穿过给定面积的电场线的数量

电场通量是一个标量，通常用 \(\Phi_\mr{e}\)，其国际标准单位为 伏特\(\cdot\)米 \((\mr{V \cdot m})\)

如上图 \(\rb{a}\) 所示，匀强电场 \(\vec{E}\) 垂直通过平面 \(\Sigma\)（与平面的法向单矢量方向一致），其上有一个面积为 \(S\) 的面元，则该匀强电场对 \(S\) 的电场通量

\[ \Phi_\mr{e} = E \tm S \]

其中，\(E = \big|\vec{E}\tm \big|\) 为电场强度的大小

不难看出，电场通量在数值上就等于以 \(S\) 为底面，以 \(\big|\vec{E}\tm\big|\) 为高的直柱体的体积

当匀强电场 \(\vec{E}\) 倾斜通过面积为 \(S\) 的平面（与平面的法向单位矢量 \(\vec{n}\) 的夹角为 \(\theta\tm\)），其电场通量为

\[ \Phi_\mr{e} = \vec{E} \cdot \vec{S} \tag{1} \label{eq:fluxOfElectricField_1} \]

其中，\(\vec{S} = S \,\vec{n}\) 被称为面元的有向面积

式 \(\eqref{eq:fluxOfElectricField_1}\) 的说明

类比电场垂直通过平面的情况，当电场倾斜通过面积为 \(S\) 的平面时，其电场通量为以 \(S\) 为底面，以 \(\big|\vec{E}\tm\big|\) 为母线长度的斜柱体的体积

\[ \Phi_\mr{e} = E \tm \cos\theta \tm S \]

根据标量积的定义，\(\displaystyle \cos\theta = \hat{E} \cdot \vec{n}\)，\(\hat{E}\) 为沿着 \(\vec{E}\) 的单位矢量，代入上式，可得：

\[ \Phi_\mr{e} = E \hat{E} \cdot \vec{n} S = \underbrace{\big( E \hat{E} \big)}_{\displaystyle \vec{E}} \cdot \underbrace{\rb{S \,\vec{n}}}_{\displaystyle \vec{S}} = \vec{E} \cdot \vec{S} \]

电场对曲面的通量¶

如上图所示，当非均匀电场 \(\vec{E}\) 通过曲面 \(S\) 时，其通量等于电场强度在垂直于曲面方向上的分量与曲面面积的乘积的总和，用公式表示如下

\[ \Phi_\mr{e} = \int_S \vec{E} \cdot \d{\vec{s}} \tag{2} \label{eq:fluxOfElectricField_2} \]

上式的推导过程见数学基础 \(\blacktriangleright\) 附录 \(\blacktriangleright\) 一般矢量场对曲面的通量

静电场的高斯定理¶

静电场的高斯定理揭示了电荷分布与电场强度之间的基本关系，即通过任意封闭曲面的电场通量等于该曲面内所有电荷的代数和，除以真空介电常数 \(\varepsilon_0\)

定理表述¶

如上图所示，闭合曲面 \(S\)（高斯面）将空间分为内（inside）、外（outside）两部分，在 \(S\) 内部和外部的电荷分布分别记为 \(q_i^\mr{in}\) 和 \(q_i^\mr{out}\)，\(i\) 表示电荷的序号。根据高斯定理，静电场对曲面 \(S\) 的通量

\[ \Phi_\mr{e} = \oint_S \vec{E} \cdot \d{\vec{s}} = \frac{1}{\varepsilon_0} \sum_{i} q_i^\mr{in} \tag{1} \label{eq:gauss_law} \]

其中，\(S\) 是闭合曲面，\(q_i^\mr{in}\) 表示包含在该曲面内的电荷

连续带电体的高斯定理¶

对于连续分布的带电物体，设高斯面 \(S\) 包围的空间为 \(G\)，电荷在其中分布的密度为 \(\rho\)，则公式 \(\eqref{eq:gauss_law}\) 变为

\[ \Phi_\mr{e} = \oint_{S} \vec{E} \cdot \d{\vec{s}} = \frac{1}{\varepsilon_0} \int_G \rho \,\d{v} \tag{2} \label{eq:gauss_law_continuum} \]

高斯定理的微分形式¶

根据数学中的高斯定理（散度定理），公式 \(\eqref{eq:gauss_law_continuum}\) 中

\[ \oint_S \vec{E} \cdot \d{\vec{s}} = \int_G \rb{\nabla \cdot \vec{E}} \,\d{v} \]

其中，\(\nabla \cdot \vec{E}\) 表示 \(\vec{E}\) 的散度，再带入到公式 \(\eqref{eq:gauss_law_continuum}\) 中，可以得到

\[ \int_G \rb{\nabla \cdot \vec{E} - \frac{\rho}{\varepsilon_0}} \, \d{v}= 0 \]

考虑到上式对于任意高斯面包围的区域 \(G\) 都成立，因此

\[ \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \tag{3} \label{eq:gauss_law_diff} \]

这就是真空中电场的高斯定理的微分形式