静电场做功和环路定理

静电场做功¶

在任何静电场中移动电荷，电场力做功只与始末位置有关，而与路径的选择无关。也就是说，静电力是保守力

点电荷电场做功¶

如上图所示，电荷量为 \(q\) 的点电荷位于原点 \(O\)，其激发的电场强度

\[ \vec{E} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\vec{r}}{r^3} \]

将电荷量为 \(q_0\) 的点电荷沿路径 \(L\) 从点 \(A\) 移动到点 \(B\)，电场力做功

\[ \begin{gather} W = \int_L q_0 \vec{E} \cdot \d{\vec{r}} = \int_L \frac{q \tm q_0}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\vec{r} \cdot \d{\vec{r}}}{r^3} \\ = \frac{q \tm q_0}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{r_A}^{r_B} \frac{\d{r}}{r^2} = \frac{q \tm q_0}{4 \pi \varepsilon_0} \rb{\frac{1}{r_A} - \frac{1}{r_B}} \end{gather} \tag{1} \label{eq:point_charge_field_work} \]

\[ \begin{align} & W = \int_L q_0 \vec{E} \cdot \d{\vec{r}} = \int_L \frac{q \tm q_0}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\vec{r} \cdot \d{\vec{r}}}{r^3} \\ &= \frac{q \tm q_0}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{r_A}^{r_B} \frac{\d{r}}{r^2} = \frac{q \tm q_0}{4 \pi \varepsilon_0} \rb{\frac{1}{r_A} - \frac{1}{r_B}} \end{align} \tag{1} \label{eq:point_charge_field_work2} \]

上式中第三个等号的推导见数学基础 \(\blacktriangleright\) 附录 \(\blacktriangleright\) \(\vec{r}/r^3\) 形式矢量场的曲线积分

从式 \(\eqref{eq:point_charge_field_work}\)\(\eqref{eq:point_charge_field_work2}\) 可以看出，点电荷施加的电场力为保守力，其做功只与始末位置有关，而与路径的选择无关

电荷系电场做功¶

考虑一个由 \(N\) 个点电荷组成的电荷系统（编号为 \(1,2, \cdots, N\) 的电荷，电荷量依次为 \(q_1, q_2, \cdots , q_N\)），根据电场的叠加原理，空间中任意一点 \(P\) 处的电场强度

\[ \vec{E} = \sum_{i=1}^N \vec{E}_i,\ \vec{E}_i = \frac{q_i}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\vec{r}_i}{r_i^3} \]

其中，\(\vec{r}_i\) 为点 \(P\) 相对于第 \(i\) 个电荷的位矢

将一个电荷量为 \(q_0\) 的电荷，沿着路径 \(L\) 从点 \(A\) 移动到点 \(B\)，电场力做功

\[ W = \int_L q_0 \vec{E} \cdot \d{\vec{r}} = q_0 \int_L \sum_{i=1}^N \vec{E}_i \cdot \d{\vec{r}} \]

其中，电荷位移的微元 \(\d{\vec{r}}\) 在以第 \(i\) 个电荷为原点的坐标系中的位移为 \(\d{\vec{r}_i}\)，且 \(\d{\vec{r}_i} = \d{\vec{r}}\)。因此，上式可化为

\[ q_0 \int_L \sum_{i=1}^N \vec{E}_i \cdot \d{\vec{r}_i} = q_0 \sum_{i=1}^N \int_L \vec{E}_i \cdot \d{\vec{r}_i} \]

其中，求和中每一项的积分均具有式 \(\eqref{eq:point_charge_field_work}\)\(\eqref{eq:point_charge_field_work2}\) 的形式。该结果说明：在任何静电场中移动电荷，电场力做功只与始末位置有关，而与路径的选择无关，也就是说静电力是保守力

静电场的环路定理¶

静电场的环路定理描述了静电场沿闭合路径积分的规律，即静电场沿任意闭合路径的曲线积分为零

矢量场沿任意闭合路径的曲线积分也称为“环量”或“环流”，因此，静电场的环路定理也可以表述为：静电场的环量（环流）为零

该定理说明静电场是保守场，其对电荷所做的功仅与始末位置有关，而与路径的选择无关

公式表述¶

如上图所示，在静电场 \(\vec{E}\) 中，从 \(A\) 点出发，沿着任意闭合曲线 \(L\) 运动一周，回到 \(A\) 点，\(\vec{E}\) 对 \(L\) 的环量为零，即

\[ \oint_L \vec{E} \cdot \d{\vec{r}} = 0 \tag{4} \label{eq:loop_law} \]

公式 \(\eqref{eq:loop_law}\) 的推导

如上图所示，在静电场中将电荷 \(q\) 分别沿路径 \(L_1\) 和 \(L_2\) 从 \(A\) 点移动到 \(B\) 点，由静电力做功只与始末位置有关而与路径无关，因此

\[ \int_{L_1} q \vec{E} \cdot \d{\vec{r}} = \int_{L_2} q \vec{E} \cdot \d{\vec{r}} \]

合并上式中等号两边的积分，得

\[ \begin{align} q \rb{ \int_{L_1} \vec{E} \cdot \d{\vec{r}} - \int_{L_2} \vec{E} \cdot \d{\vec{r}} } = 0 \ \Rightarrow\ q \oint_{L_1 + L_2^{-}} \vec{E} \cdot \d{\vec{r}} = 0 \end{align} \]

\[ \begin{align} & q \rb{ \int_{L_1} \vec{E} \cdot \d{\vec{r}} - \int_{L_2} \vec{E} \cdot \d{\vec{r}} } = 0 \\ &\Rightarrow\ q \oint_{L_1 + L_2^{-}} \vec{E} \cdot \d{\vec{r}} = 0 \end{align} \]

其中，\(L_2^{-}\) 表示沿着图中路径 \(L_2\) 反方向从 \(B\) 到 \(A\)。考虑到 \(L_1 + L_2^{-}\) 构成一个闭合的曲线，记为 \(L\)，得到

\[ \oint_L \vec{E} \cdot \d{\vec{r}} = 0 \tag{5} \label{eq:loop_law2} \]

由上述推导可知，无论是点 \(A\)、\(B\) 的位置，还是路径 \(L_1\) 和 \(L_2\) 的选择，都能得到式 \(\eqref{eq:loop_law2}\) 的结论，说明静电场沿任意闭合路径的环量均为零

环路定理的微分形式¶

根据数学中的斯托克斯定理

\[ \oint_L \vec{E} \cdot \d{\vec{r}} = \int_S \rb{\nabla \times \vec{E}\tm} \cdot \d{\vec{s}} = 0 \]

其中，\(S\) 是以闭合曲线 \(L\) 为边缘的曲面。考虑到 \(L\) 和 \(S\) 的任意性，上式成立的条件为

\[ \nabla \times \vec{E} = \vec{0} \]

这就是静电场环路定理的微分形式，它表明在静电场中，电场线总是始于正电荷而终止于负电荷，不会呈现出首尾相连的闭环