附录

立体角¶

立体角是三维空间中用于度量从某一点（顶点）观察到的物体所覆盖视场大小的物理量

立体角描述了观察者在某一点所能“看到”物体三维空间的角度，是平面角在三维空间中的推广和类比

立体角通常用 $\Omega$ 表示，其国际标准单位为 斯特拉（$\mr{sr}$），$1 \,\mr{sr} = 1 \,\mr{rad}^2$

定义¶

立体角的大小是物体在以顶点为球心的球面上覆盖的面积 $S$ 与球体半径 $r$ 的平方之比，即 $\displaystyle \Omega = \frac{S}{r^2}$

若该面积 $S$ 沿球半径方向映射到半径为 $r^\prime$ 的同心球面上，则映射后的面积 $\displaystyle S' = \rb{\frac{r^\prime}{r}}^2 S$，此时，立体角 $\displaystyle \Omega = \frac{S'}{{r^\prime}^2} = \frac{S}{r^2}$。也即是说，立体角的大小并不依赖于球半径，或者说可以将不同球面上立体角截得的面积映射到到同一个球面上进行处理

立体角微元（球面）¶

如上图所示，半径为 $r$ 的球面 $\Sigma$ 上，面积为 $\d{\sigma}$ 的面元与球心（顶点） $O$ 的连接形成的锥体，就形成了一个立体角微元 $\d{\Omega}$，根据定义

\[ \d{\Omega} = \frac{\d{\sigma}}{r^2} \tag{1} \label{eq:solid_angle_micro_sphere} \]

这里，面元 $\d{\sigma}$ 的法向单位矢量 $\vec{n}$ 与其相对顶点的位矢 $\vec{r}$（或单位矢量 $\vec{e}_r$）方向一致

全空间立体角¶

当立体角元 $\eqref{eq:solid_angle_micro_sphere}$ 对全空间 $V$ 求积分，就意味着“看见”的物体覆盖了整个球面 $\Sigma$，考虑到 $r$ 是固定值

\[ \int_{V} \d{\Omega} % = \int_\Sigma \frac{\d{\sigma}}{r^2} = \frac{1}{r^2} \int_\Sigma \d{\sigma} = \frac{1}{r^2} 4 \pi r^2 = 4 \pi \tag{2} \label{eq:solid_angle_in_full_space} \]

立体角微元（任意曲面）¶

如上图所示，立体角微元 $\d{\Omega}$ 在曲面 $S$ 上截得的面元为 $\d{s}$，该面元的位矢和法向单位矢量分别为 $\vec{r}$ 和 $\vec{n}$

如上图中 $(a)$ 图所示，在 $\d{s}$ 附近作一个球面面元 $\d{\sigma}$，其法向单位矢量 $\vec{e}_r = \vec{r}/r$，且 $\d{\sigma}$ 与 $\d{s}$ 之间的二面角 $\theta$ 就等于 $\vec{n}$ 与 $\vec{e}_r$ 的夹角

由于立体角微元 $\d{\Omega}$ 足够小，其锥体的各条母线几乎是平行的。因此，$\d{\sigma}$ 就是 $\d{s}$ 在球面上的投影

当 $\theta<\pi/2$ 时，根据立体角微元的定义式 $\eqref{eq:solid_angle_micro_sphere}$

\[ \d{\Omega} = \frac{\d{\sigma}}{r^2} = \frac{\cos\theta \,\d{s}}{r^2} = \frac{\vec{e}_r \cdot \vec{n} \,\d{s}}{r^2} = \frac{\vec{e}_r \cdot \d{\vec{s}}}{r^2} \]

其中，$\d{\vec{s}} = \vec{n} \,\d{s}$
如上图中 $(b)$ 图所示，当 $\theta>\pi/2$ 时，$-\vec{n}$ 方向与 $\vec{e}_r$ 的夹角为 $\tilde{\theta} = \pi - \theta < \pi/2$，符合前一条的情况，此时

\[ \frac{\vec{e}_r \cdot \d{\vec{s}}}{r^2} = \frac{\cos\theta \,\d{s}}{r^2} = -\frac{\cos \tilde{\theta} \,\d{s}}{r^2} = -\d{\Omega} \]

综上所述，有向面元 $\d{\vec{s}}$ 与沿位矢的单位矢量 $\vec{e}_r$ 满足下列关系

\[ \frac{\vec{e}_r \cdot \d{\vec{s}}}{r^2} = \left\{ \begin{array}{cc} \d{\Omega} & \theta < \pi/2 \\ -\d{\Omega} & \theta > \pi/2 \end{array} \right. \tag{3} \label{eq:solid_angle_micro_surface} \]

高斯定理的说明¶

本节的内容中许多地方需要用到立体角中的结论

点电荷电场对高斯面的通量¶

点电荷在高斯面内

如上图中 $(a)$ 图所示，电荷量为 $Q$ 的点电荷在闭合曲面（高斯面）$S$ 内，以 $Q$ 为顶点的立体角微元 $\d{\Omega}$ 截得的面积为 $\d{s}$，根据电场强度通量的一般表达式

\[ \Phi_\mr{e} = \oint_{S} \vec{E} \cdot \d{\vec{s}} = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \oint_{S} \frac{\vec{e}_r \cdot \d{\vec{s}}}{r^2} \]

其中，$r = \abs{\vec{r}\tm}$，$\vec{e}_r = \vec{r}/r$ 是 $\vec{r}$ 的单位矢量。当位矢 $\vec{r}$ 从内部穿过高斯面时，$\vec{e}_r$ 与 $\vec{n}$ 的夹角小于 $\pi/2$，根据式 $\eqref{eq:solid_angle_micro_surface}$ 可知

\[ \Phi_\mr{e} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \int_V \d{\Omega} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} 4\pi = \frac{Q}{\varepsilon_0} \]

其中，$\displaystyle \int_V$ 表示对全空间积分，见式 $\eqref{eq:solid_angle_in_full_space}$
点电荷在高斯面外

如上图中 $(b)$ 图所示，电荷量为 $Q$ 的点电荷在闭合曲面（高斯面）$S$ 外，以 $Q$ 为顶点的立体角微元 $\d{\Omega}$ 在 $S$ 上一“入”一“出”，截得 $\d{s_1}$ 和 $\d{s_2}$ 两个面元（法向单位矢量分别为 $\vec{n}_1$ 和 $\vec{n}_2$）

不难看出，立体角微元“进入”的面元 $\vec{n}_1$ 与 $\vec{e}_r$ 的夹角大于 $\pi/2$，而“出射”的面元 $\vec{n}_2$ 与 $\vec{e}_r$ 的夹角小于 $\pi/2$，根据式 $\eqref{eq:solid_angle_micro_surface}$ 可知

\[ \frac{\vec{e}_r \cdot \d{\vec{s}_1}}{r^2} = - \d{\Omega},\ \frac{\vec{e}_r \cdot \d{\vec{s}_2}}{r^2} = \d{\Omega} \]

这两个面元的电场通量相互抵消。因此，在闭合曲面 $S$ 外，点电荷电场强度对其的通量为 $0$

综上所述，电荷量为 $Q$ 的点电荷，其激发的电场对闭合曲面 $S$ 的通量

\[ \Phi_\mr{e} = \oint_{S} \vec{E} \cdot \d{\vec{s}} = \left\{ \begin{array}{cc} Q / \varepsilon_0 & \text{电荷在 $S$ 内} \\ 0 & \text{电荷在 $S$ 外} \end{array} \right. \tag{4} \label{eq:single_charge_gaussian_law} \]

电荷系对高斯面的通量¶

考虑一个包含 $N$ 个电荷的系统，其电荷量分别为 $q_1, q_2, \cdots, q_N$，根据电场的叠加原理，电场对高斯面 $S$ 的通量

\[ \Phi_\mr{e} = \oint_{S} \vec{E} \cdot \d{\vec{s}} = \oint_{S} \sum_{i=1}^N \vec{E}_i \cdot \d{\vec{s}} = \sum_{i=1}^N \oint_{S} \vec{E}_i \cdot \d{\vec{s}} \]

其中，$\vec{E}_i$ 为第 $i$ 个电荷激发的电场。根据式 $\eqref{eq:single_charge_gaussian_law}$，上式的求和仅需要对高斯面 $S$ 内的电荷激发的电场求和，即

\[ \Phi_\mr{e} = \oint_{S} \vec{E} \cdot \d{\vec{s}} = \frac{1}{\varepsilon_0} \sum_i q_i^\mr{in} \]

这就是静电场的高斯定理

点电荷电势的说明¶

将一个电荷量为 $q$ 的点电荷置于原点，其在周围空间任意一点（位矢为 $\vec{k}$，到原点距离 $k=\big|\vec{k}\tm\big|$）激发的电场强度

\[ \vec{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\vec{k}}{k^3} \]

当选取无穷远处为零电势位置时，目标点 $P$ 处（位矢为 $\vec{r}\tm$）的电势

\[ V_P = \int_P^\infty \vec{E} \cdot \d{\vec{r}} = \int_P^\infty \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\vec{k} \cdot \d{\vec{k}}}{k^3} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \int_r^\infty \frac{\d{k}}{k^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r} \]

\[ \begin{align} V_P & = \int_P^\infty \vec{E} \cdot \d{\vec{r}} = \int_P^\infty \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\vec{k} \cdot \d{\vec{k}}}{k^3} \\ & = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \int_r^\infty \frac{\d{k}}{k^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r} \end{align} \]

其中，$\displaystyle \int_P^\infty$ 表示沿着从点 $P$ 到无穷远处的任意一条曲线的积分，第三个等号的推导见数学基础 $\blacktriangleright$ 附录 $\blacktriangleright$ 形式矢量场的曲线积分

电势叠加原理的说明¶

考虑一个包含 $N$ 个电荷的系统，其电荷量分别为 $q_1, q_2, \cdots, q_N$

根据电场的叠加原理，这个电荷系统在目标点 $P$ 处（位矢为 $\vec{r}$）激发的电场强度

\[ \vec{E} = \sum_{i=1}^N \vec{E}_i \]

其中，$\displaystyle \vec{E}_i = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\vec{r}_i}{r_i^3}$，为第 $i$ 个电荷激在点 $P$ 处单独激发的电场，$\vec{r}_i$ 和 $r_i$ 分别为点 $P$ 相对第 $i$ 个电荷的位矢和距离

根据电势的定义，点 $P$ 处的电势（取无穷远处电势为零）

\[ V_P = \int_P^\infty \vec{E} \cdot \d{\vec{r}} = \int_P^\infty \sum_{i=1}^N \vec{E}_i \cdot \d{\vec{r}} \]

电场强度与电势的关系推导¶

根据电势差的定义，在电场强度为 $\vec{E}$ 的电场中，$A$、$B$ 两点间的电势差

\[ \dt{V}_{AB} = V_A - V_B = \int_L \vec{E} \cdot \d{\vec{r}} \tag{5} \label{eq:potential_difference} \]

其中，$\displaystyle \int_L$ 表示沿着曲线 $L$ 从点 $A$ 到点 $B\tm$。考虑到电势 $V$ 为空间位置的函数，上式中

\[ V_A - V_B = \int_B^A \d{V} = - \int_L \d{V} \]

其中，最后一步的“负号”由于积分的方向沿 $L$ 从点 $B$ 到点 $A$

在直角坐标系中，电势 $V = V(x,y,z)$，其微分

\[ \begin{align} & \d{V} = \frac{\partial V}{\partial x} \d{x} + \frac{\partial V}{\partial y} \d{y} + \frac{\partial V}{\partial z} \d{z} \\ & = \underbrace{\rb{ \frac{\partial V}{\partial x} \,\vec{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \,\vec{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \,\vec{k} }}_{\displaystyle \nabla V} \cdot \underbrace{\rb{ \d{x} \,\vec{i} + \d{y} \,\vec{j} + \d{z} \,\vec{k} }}_{\displaystyle \d{\vec{r}}} \\ & = \nabla V \cdot \d{\vec{r}} \end{align} \]

\[ \begin{align} & \d{V} = \frac{\partial V}{\partial x} \d{x} + \frac{\partial V}{\partial y} \d{y} + \frac{\partial V}{\partial z} \d{z} \\ & = \underbrace{\rb{ \frac{\partial V}{\partial x} \,\vec{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \,\vec{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \,\vec{k} }}_{\displaystyle \nabla V} \\ & \phantom{=} \cdot \underbrace{\rb{ \d{x} \,\vec{i} + \d{y} \,\vec{j} + \d{z} \,\vec{k} }}_{\displaystyle \d{\vec{r}}} \\ & = \nabla V \cdot \d{\vec{r}} \end{align} \]

将上面的结果代入式 $\eqref{eq:potential_difference}$，有

\[ - \int_L \nabla V \cdot \d{\vec{r}} = \int_L \vec{E} \cdot \d{\vec{r}} \ \Rightarrow\ \int_L \rb{\vec{E} + \nabla V} \cdot \d{\vec{r}} = 0 \]

\[ \begin{align} & - \int_L \nabla V \cdot \d{\vec{r}} = \int_L \vec{E} \cdot \d{\vec{r}} \\ & \ \Rightarrow\ \int_L \rb{\vec{E} + \nabla V} \cdot \d{\vec{r}} = 0 \end{align} \]

考虑到对于任意的点 $A$、$B$ 和 $L$，上述结果都成立，因此，$\displaystyle \vec{E} + \nabla V = 0$，即

\[ \vec{E} = - \nabla V \]