电势能和电势

电势能¶

电势能（electric potential energy）是电荷在电场中由于其位置或配置而具有的能量

电荷或带电体的电势能与静电力做功有关，具体来说，电势能的变化量的负值就等于静电力做的功

本教程中用 \(U\) 表示电势能，其国际标准单位为焦耳 \(\mr{(J)}\)

在电场强度为 \(\vec{E}\) 的静电场中，沿着路径 \(L\) 将一个电荷量为 \(q\) 的电荷从点 \(A\) 移动到点 \(B\)，静电力做功

\[ W = \int_L q \vec{E} \cdot \d{\vec{r}} % = \int_{A}^{B} q \vec{E} \cdot \d{\vec{r}} = -\rb{U_B - U_A} \]

其中，\(U_A\) 和 \(U_B\) 分别为点 \(A\) 和点 \(B\) 处的电势能。由于静电力为保守力，上式中的积分可以选择从点 \(A\) 到点 \(B\) 的任意一条路径，从而将上式改写为

\[ W = \int_{A}^{B} q \vec{E} \cdot \d{\vec{r}} = -\rb{U_B - U_A} \tag{1} \label{eq:electric-potential-energy} \]

其中，\(\displaystyle \int_A^B\) 表示沿着任意一条从点 \(A\) 到点 \(B\) 的路径的积分

从式 \(\eqref{eq:electric-potential-energy}\) 可知，要确定目标位置的电势能，需要先选择一个零势能位置（规定其电势能为零），其它位置的势能便可以此为参考确定下来

如果取点 \(B\) 处为零势能位置，\(U_B = 0\)，则点 \(A\) 处的电势能

\[ U_A = \int_A^B q \vec{E} \cdot \d{\vec{r}} \]
当电荷分布在有限空间内时，通常选择无穷远处作为零电势能位置（静电力为零），则点 \(A\) 处的电势能

\[ U_A = \int_A^\infty q \vec{E} \cdot \d{\vec{r}} \]

电势又称“电位”，是描述静电场在空间中某一点特性的物理量

静电场中，电势在数值上等于

零电势位置是人为选取的，并规定其电势为零的参考位置。当电荷分布在有限空间内时，通常选择无穷远处作为零电势位置（电场强度为零）

本教程中用 \(V\) 表示电势，其国际标准单位为伏特 \(\mr{(V)}\)

在静电场中，电荷量为 \(q\) 的电荷在点 \(A\) 处的电势能为 \(U_A\)，则此处的电势

\[ V_A = \frac{U_A}{q} \]

电势差又称“电压”或“电位差”，是衡量电场中两点之间电势差异的物理量

类比电场能的定义式 \(\eqref{eq:electric-potential-energy}\)，\(A\) 和 \(B\) 两点之间的电势差

\[ \dt{V}_{AB} = V_A - V_B = \int_A^B \vec{E} \cdot \d{\vec{r}} \]

与电场力做功的关系：将电荷量为 \(q\) 的电荷从点 \(A\) 移动到点 \(B\)，电场力做功

\[ W = \int_A^B q \vec{E} \cdot \d{\vec{r}} = q \tm \dt{V}_{AB} \]

将电荷量为 \(q\) 的点电荷置于原点，则除原点外任意一点 \(P\)（位矢为 \(\vec{r}\tm\)）处的电势（取无穷远处电势为零）

\[ V_P = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r} \tag{3} \label{eq:electric-potential-point} \]

其中，\(r = \abs{\vec{r}\tm}\)，为点 \(P\) 到原点的距离

式 \(\eqref{eq:electric-potential-point}\) 的推导见附录 \(\blacktriangleright\) 点电荷电势的说明

电势的叠加原理指出，空间某一点的总电势等于各个点电荷单独存在时在该点产生的电势的代数和，可用公式表示为

\[ V = \sum_{i=1}^N V_i % = \sum_{i=1}^N \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_i}{r_i} \tag{2} \label{eq:electric-potential-sum} \]

其中，\(V\) 为目标位置的总电势，\(\displaystyle V_i = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_i}{r_i}\)，为第 \(i\) 个电荷在目标位置的电势，\(q_i\) 和 \(r_i\) 分别为电荷量和其到目标位置的距离

由式 \(\eqref{eq:electric-potential-sum}\) 可得，连续带电物体在目标点处产生的电势

\[ V = \int \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\d{q}}{r} = \int_\Omega \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\rho\,\d{v}}{r} \]

其中，\(\Omega\) 为带电体的区域，\(\rho\) 为电荷密度，\(\d{v}\) 为体积微元

静电场中任意一点的电场强度 \(\vec{E}\) 等于电势 \(V\) 在该点处梯度的负值，即

\[ \vec{E} = -\nabla V \]