库伦定律和电场强度

库伦定律¶

库伦定律描述了真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，即库伦力

库仑力的大小和方向¶

大小：与两个点电荷电荷量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比

方向：沿着两个点电荷的连线，同号电荷相互排斥，异号电荷相互吸引

公式表述¶

如上图所示，点电荷 $Q_1$ 位于原点 $O$，点电荷 $Q_2$ 的位置为 $\vec{r}$，则 $Q_2$ 受到 $Q_1$ 的库仑力

\[ \hlt{ \vec{F} = {Q_1 Q_2 \over 4\pi \varepsilon_0} \frac{\vec{e}_{r}}{r^2} \quad \rb{ \text{或者}\ {Q_1 Q_2 \over 4\pi \varepsilon_0} \frac{\vec{r}}{r^3} } } \]

其中，$r = \abs{\vec{r}\tm}$，$\vec{e}_r = \vec{r}/r$ 为沿 $\vec{r}$ 的单位矢量，$\varepsilon_0$ 为真空电容率（也称“真空介电常数”），在国标单位制下，$\varepsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12} \,\mr{F \cdot m^{-1}}$

静电场¶

电场是存在于电荷周围，能传递电荷与电荷之间相互作用的物理场

观察者相对于电荷静止时所观察到的场称为静电场

电场强度¶

电场强度是一个矢量，是描述电场在空间中某一点强弱和方向的物理量

电场强度常用 $\vec{E}$ 表示，其国际标准单位为 伏特 $\cdot$ 米$^{-1}$ $\rb{\mr{V \cdot m^{-1}}}$

电场强度定义为单位正电荷在电场中某点所受到的电场力

定义¶

将电荷量为 $q_0$ 的试探点电荷放入电场中的某一点，其所受电场力为 $\vec{F}$，则该点的电场强度

\[ \hlt{ \vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0} } \]

静电力¶

在电场强度为 $\vec{E}$ 的电场中，电荷量为 $q$ 的电荷受到静电场的作用力

\[ \vec{F} = q \vec{E} \]

点电荷激发的电场强度¶

以一个电荷量为 $Q$ 的点电荷为原点，其周围位置为 $\vec{r}$ 处的电场强度

\[ \hlt{ \vec{E} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\vec{r}}{r^3} } \]

电场强度的叠加原理¶

电场强度的叠加原理是静电学中的一个基本原理，用来计算由多个电荷共同激发的电场在空间中某一点的总电场强度

电场强度的叠加原理表明，在空间中任意一点，由多个电荷共同激发的总电场强度等于每个电荷单独在该点激发的电场强度的矢量和

点电荷系激发的电场¶

包含 $N$ 个电荷的电荷系，电荷量分别为 $Q_1, Q_2, \cdots, Q_N$，它们在空间中某一点 $P$ 处单独产生的电场强度分别为 $\vec{E}_1, \vec{E}_2, \cdots, \vec{E}_N$，则点 $P $ 处的总电场强度

\[ \vec{E} = \sum_{i=1}^N \vec{E}_i = \hlt{ \sum_{i=1}^N \frac{Q_i}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\vec{r}_i}{r_i^3} } \]

其中，$\vec{r}_i$ 为点 $P$ 相对于第 $i$ 个点电荷的位置，$r_i = \abs{\vec{r}_i}$ 为点 $P$ 到第 $i$ 个电荷的距离

连续分布带电体激发的电场¶

连续电荷分布（如线电荷、面电荷或体电荷），我们将其分成微小电荷元 $\d{q}$，每个电荷元可以看作一个点电荷，产生的微小电场为

\[ \hlt{ \d{\vec{E}} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\vec{r}}{r^3} \d{q} } \]

在点 $P$ 处总的电场强度

\[ \vec{E} = \int \d{\vec{E}} = \hlt{ \int \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\vec{r}}{r^3} \d{q} } \tag{1} \label{eq:continous_charged_body} \]

例如，对于三维连续分布带电体，$\displaystyle \d{q} = \rho\rb{\vec{r}\tm} \,\d{v}$，其中，$\rho$ 为带电体的电荷密度（为位置 $\vec{r}$ 的函数），$\vec{r}\tm$ 为微元的位置，$\d{v}$ 为微元的体积。此时，总电场强度计算式 $\eqref{eq:continous_charged_body}$ 变为

\[ \vec{E} = \int_V \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\rho \tm \vec{r}}{r^3} \d{v} \]

其中，$V$ 为带电体在空间中的分布区域