附录

法向加速度垂直于切向的说明¶

质点做曲线运动时，它的加速度

\[ \vec{a} = \frac{\d{\vec{v}}}{\d{t}} = \frac{\d{v}}{\d{t}} \vec{e}_\mr{t} + v \frac{\d{\vec{e}_\mr{t}}}{\d{t}} = \vec{a}_\mr{t} + \vec{a}_\mr{n} \tag{1} \label{eq:vec_a} \]

\[ \begin{align} \vec{a} &= \frac{\d{\vec{v}}}{\d{t}} = \frac{\d{v}}{\d{t}} \vec{e}_\mr{t} + v \frac{\d{\vec{e}_\mr{t}}}{\d{t}} \\ &= \vec{a}_\mr{t} + \vec{a}_\mr{n} \end{align} \tag{1} \label{eq:vec_a_small} \]

不难看出，\(\vec{a}_\mr{t}\) 的方向沿着切向 \(\vec{e}_\mr{t}\)，\(\vec{a}_\mr{n}\) 的方向则由 \(\dfrac{\d{\vec{e}_\mr{t}}}{\d{t}}\) 决定，根据标量积对参数求导的规则

\[ \frac{\d{\rb{\vec{e}_\mr{t} \cdot \vec{e}_\mr{t}}}}{\d{t}} = \frac{\d{\vec{e}_\mr{t}}}{\d{t}} \cdot \vec{e}_\mr{t} + \vec{e}_\mr{t} \cdot \frac{\d{\vec{e}_\mr{t}}}{\d{t}} \]

其中，

上式左边 \(\displaystyle \vec{e}_\mr{t} \cdot \vec{e}_\mr{t} = 1\)，得到：\(\displaystyle \frac{\d{\rb{\vec{e}_\mr{t} \cdot \vec{e}_\mr{t}}}}{\d{t}} = 0\)
根据标量积的交换律，右边则可化为 \(\displaystyle 2 \tm \vec{e}_\mr{t} \cdot \frac{\d{\vec{e}_\mr{t}}}{\d{t}}\)

因此，\(\displaystyle \vec{e}_\mr{t} \cdot \frac{\d{\vec{e}_\mr{t}}}{\d{t}} = 0\)，即 \(\displaystyle \vec{e}_\mr{t} \perp \frac{\d{\vec{e}_\mr{t}}}{\d{t}}\)，这就证明了 \(\vec{a}_\mr{n} \perp \vec{e}_\mr{t}\)，以及 \(\vec{a}_\mr{n} \perp \vec{a}_\mr{t}\)

法向加速度形式的说明¶

式 \(\eqref{eq:vec_a}\)\(\eqref{eq:vec_a_small}\) 中，\(\displaystyle \vec{a}_\mr{n} = v \frac{\d{\vec{e}_\mr{t}}}{\d{t}}\)，可以将 \(\vec{e}_\mr{t}\) 看作 \(\vec{e}_\mr{t}[s(t)]\) 形式的复合函数，则

\[ \vec{a}_\mr{n} = v \frac{\d{\vec{e}_\mr{t}}}{\d{s}} \underbrace{\frac{\d{s}}{\d{t}}}_{\displaystyle v} = v^2 \frac{\d{\vec{e}_\mr{t}}}{\d{s}} \]

由于 \(\vec{a}_\mr{n} \perp \vec{a}_\mr{t}\)，可设

\[ \frac{\d{\vec{e}_\mr{t}}}{\d{s}} = \kappa \,\vec{e}_\mr{n} \tag{2} \label{eq:kappa} \]

其中，\(\vec{e}_\mr{n} \perp \vec{e}_\mr{t}\)，\(\kappa>0\) 被称为曲线的曲率

如上图所示，质点沿曲线从 \(A\) 点到 \(B\) 点，走过了一段长度为 \(\dt{s}\) 的路程，切向单位矢量从 \(\vec{e}_\mr{t}\) 变化为 \(\vec{e}_\mr{t}^{\tm \prime}\)，变化量 \(\dt{\vec{e}_\mr{t}} = \vec{e}_\mr{t}^{\tm \prime} - \vec{e}_\mr{t}\)

当 \(\dt{s}\) 非常小时，可近似认为 \(v\) 和 \(a_\mr{n}\) 保持恒定，这时，质点运动的轨迹就可以视为为一段圆弧，这个圆弧就是曲率圆的一部分

分别通过 \(A\) 点和 \(B\) 点做垂直于 \(\vec{e}_\mr{t}\) 即 \(\vec{e}_\mr{t}^{\tm \prime}\) 的直线，这两条直线的交点 \(O\) 就是曲率圆的圆心，曲率圆的半径 \(\rho\) 称为曲率半径

如图所示，在 \(\vec{e}_\mr{t}\)、\(\vec{e}_\mr{t}^{\tm\prime}\) 和 \(\dt{\vec{e}_\mr{t}}\) 构成的三角形中，当 \(\dt{\theta} \to 0\) 时，\(\displaystyle \abs{\dt{\vec{e}_\mr{t}}} \approx \abs{\vec{e}_\mr{t}} \dt{\theta} = \dt{\theta}\)；另一方面，\(\dt{\theta} = \dfrac{\dt{s}}{\rho}\)

因此，在式 \(\eqref{eq:kappa}\) 中

\[ \abs{\frac{\d{\vec{e}_\mr{t}}}{\d{s}}} = \lim_{\dt{s} \to 0} \abs{\frac{\dt{\vec{e}_\mr{t}}}{\dt{s}}} = \lim_{\dt{s} \to 0} \frac{\abs{\vec{e}_\mr{t}}}{\dt{s}} = \lim_{\dt{s} \to 0} \frac{\dt{\theta}}{\dt{s}} = \frac{1}{\rho} % \tag{3} \label{eq:rho} \]

\[ \begin{align} \abs{\frac{\d{\vec{e}_\mr{t}}}{\d{s}}} &= \lim_{\dt{s} \to 0} \abs{\frac{\dt{\vec{e}_\mr{t}}}{\dt{s}}} = \lim_{\dt{s} \to 0} \frac{\abs{\vec{e}_\mr{t}}}{\dt{s}} \\ &= \lim_{\dt{s} \to 0} \frac{\dt{\theta}}{\dt{s}} = \frac{1}{\rho} \end{align} % \tag{3} \label{eq:rho} \]

因此，公式 \(\eqref{eq:kappa}\) 中 \(\displaystyle \kappa = \frac{1}{\rho}\)

综上所述，法向加速度 \(\displaystyle \vec{a}_\mr{n} = \frac{v^2}{\rho} \vec{e}_\mr{n}\)，其中

\(\rho\) 为曲率半径
\(\vec{e}_\mr{n}\) 为法向单位矢量，与 \(\vec{e}_\mr{t}\) 垂直，指向曲率圆的圆心

平面圆周运动的速度¶

质点绕原点 \(O\) 作平面圆周运动，其位置

\[ \vec{r}(t) = r \cos\theta \,\vec{i} + r \sin\theta \,\vec{j} \]

根据运动学中速度的定义

\[ \vec{v} = \frac{\d{\vec{r}}}{\d{t}} = \frac{\mr{d}}{\d{t}} (r \cos\theta \,\vec{i} + r \sin\theta \,\vec{j}) = r \tm \underbrace{\rb{-\sin\theta \,\vec{i} + \cos\theta \,\vec{j}}}_{\displaystyle \vec{e}_\theta} \tm \frac{\d{\theta}}{\d{t}} \]

\[ \begin{align} \vec{v} &= \frac{\d{\vec{r}}}{\d{t}} = \frac{\mr{d}}{\d{t}} (r \cos\theta \,\vec{i} + r \sin\theta \,\vec{j}) \\ &= r \rb{-\sin\theta \,\vec{i} + \cos\theta \,\vec{j}} \frac{\d{\theta}}{\d{t}} \end{align} \]

其中，\(\displaystyle \d{\theta}/\d{t} = \omega\)。记 \(\displaystyle \vec{e}_\theta = -\sin\theta \,\vec{i} + \cos\theta \,\vec{j}\)。不难看出 \(\displaystyle \abs{\vec{e}_\theta} = 1\)，且可以化为

\[ \vec{e}_{\theta} = {\cos \rb{\theta + \pi/2} \,\vec{i} + \sin \rb{\theta + \pi/2} \,\vec{j}} \]

这意味着 \(\vec{e}_\theta\) 的极角为 \(\theta + \pi/2\)，即该矢量相对于 \(\vec{r}\) 逆时针旋转了 \(\pi/2\)，由于 \(\vec{r}\) 为沿着半径方向，所以 \(\vec{e}_\theta\) 沿着逆时针的切向

综上所述

\[ \vec{v} = r \tm \omega \,\vec{e}_\theta \tag{3} \label{eq:v_circ} \]

其中，\(r \tm \omega\) 为速度的分量。由于 \(\vec{e}_\theta\) 始终沿逆时针切向，可以省略，将速度简记为 \(v = r \tm \omega\)

平面圆周运动的加速度¶

质点绕原点 \(O\) 作平面圆周运动，其加速度 \(\displaystyle \vec{a} = \frac{\d{\vec{v}}}{\d{t}}\)，将 \(\eqref{eq:v_circ}\) 代入可得

\[ \vec{a} = \underbrace{r \frac{\d{\omega}}{\d{t}} \,\vec{e}_\theta}_{\displaystyle (1)} + \underbrace{r \tm \omega \frac{\d{\vec{e}_\theta}}{\d{t}}}_{\displaystyle (2)} \]

将上式中的 \((1)\) 和 \((2)\) 两项分别为切向加速度 \(\vec{a}_\mr{t}\) 和法向加速度 \(\vec{a}_\mr{n}\)。

考虑到角加速度的定义 \(\displaystyle \alpha = \frac{\d{\omega}}{\d{t}}\)，因此

\[ \vec{a}_\mr{t} = r \tm \alpha \,\vec{e}_\theta \]

由 \(\displaystyle \vec{e}_\theta = -\sin\theta \,\vec{i} + \cos\theta \,\vec{j}\)，法向加速度中

\[ \frac{\d{\vec{e}_\theta}}{\d{t}} = -\frac{\d{\sin\theta}}{\d{t}} \frac{\d{\theta}}{\d{t}} \,\vec{i} + \frac{\d{\cos\theta}}{\d{t}} \frac{\d{\theta}}{\d{t}} \,\vec{j} = \omega \tm \underbrace{\rb{- \cos\theta \,\vec{i} - \sin\theta \,\vec{j} \tm}}_{\displaystyle \vec{e}_\mr{n}} \]

\[ \begin{align} \frac{\d{\vec{e}_\theta}}{\d{t}} &= -\frac{\d{\sin\theta}}{\d{t}} \frac{\d{\theta}}{\d{t}} \,\vec{i} + \frac{\d{\cos\theta}}{\d{t}} \frac{\d{\theta}}{\d{t}} \,\vec{j} \\ &= \omega \tm \underbrace{\rb{- \cos\theta \,\vec{i} - \sin\theta \,\vec{j} \tm}}_{\displaystyle \vec{e}_\mr{n}} \end{align} \]

其中，\(\vec{e}_\mr{n}\) 为法向单位矢量（\(\displaystyle \vec{e}_\mr{n} \perp \vec{e}_\mr{t}\)），与 \(\vec{r}\) 的方向相反，从质点指向圆心。因此，\(\displaystyle \vec{a}_\mr{n} = r \tm \omega^2 \,\vec{e}_\mr{n}\)

综上所述，平面圆周运动的加速度

\[ \vec{a} = \vec{a}_\theta + \vec{a}_\mr{n} = r \tm \alpha \,\vec{e}_\theta + r \tm \omega^2 \,\vec{e}_\mr{n} \]

由于 \(\vec{e}_\theta\) 和 \(\vec{e}_\mr{n}\) 的方向较为简单，切向与法向加速度也可以简写为

\[ a_\mr{t} = r \tm \alpha, \ a_\mr{n} = r \tm \omega^2 \]

指标串联法¶

指标串联法是一种书写伽利略变换公式的有效方法，具有快速、准确和方便的优点

如上图所示，用 \(\vec{v}_{0P}\) 和 \(\vec{v}_{1P}\) 分别表示质点 \(P\) 相对于 \(S_0\) 和 \(S_1\) 的速度（对应速度变换公式 \((2)\) 中的 \(\vec{v}_0\) 和 \(\vec{v}_1\)），则质点 \(P\) 在参考系 \(S_0\) 和 \(S_1\) 中的速度变换可写为

\[ \vec{v}_{0P} = \vec{v}_{01} + \vec{v}_{1P} \tag{4} \label{eq1} \]

上式中 \(0\)、\(1\) 和 \(P\) 都是指标，它们串联的规律为

\[ [0P] \ \mapsto \ [01] + [1P] \]

可以记为将 \(0P\) 拆开成两项，中间插入连接作用的 \(1\)，再将这两项相加。按照这个规律，可以写出

\[ \vec{v}_{1P} = \vec{v}_{10} + \vec{v}_{0P} \]

其中，\(\vec{v}_{10}\) 表示 \(S_0\) 相对于 \(S_1\) 的速度，它等于 \(-\vec{v}_{01}\)（运动的相对性），代入上式可得

\[ \vec{v}_{1P} = -\vec{v}_{01} + \vec{v}_{0P} \]

与公式 \(\eqref{eq1}\) 等价。如果存在更多的参考系，例如 \(S_0\)、\(S_1\) 和 \(S_2\)，也可以按照这个规律快速写出速度变换关系

\[ \vec{v}_{0P} = \vec{v}_{01} + \vec{v}_{12} + \vec{v}_{2P} \]

指标串联法的规律可总结为

所有物理量的类型相同（例如均为速度）
每个物理量中包含两个指标，分别代表参考系和描述对象（注意：这里的顺序不能乱）
将一个物理量按照指标拆成两个同类物理量相加，再在中间补充上连接的指标