运动方程和轨迹方程

运动方程¶

运动方程是质点的位置矢量随时间 \(t\) 变化的函数关系式，\(\vec{r}(t)\)

与位置矢量类似，运动方程在直角坐标系中可表示为

\[ \vec{r}\tm(t) = x(t) \,\vec{i} + y(t) \,\vec{j} + z(t) \,\vec{k} \]

其中，直角分量 \(x\)、\(y\) 和 \(z\) 都是时间 \(t\) 的函数

平抛运动的运动方程

质点作平抛运动，在 \(t=0 \,\mr{s}\) 时从坐标系的原点 \(O\) 以速率 \(v_0\) 水平抛出，重力加速度大小为 \(g\)，写出该质点的运动方程

质点在 \(xOy\) 平面上作平抛运动，其 \(x\) 分量和 \(y\) 分量关于时间 \(t\) 的函数关系为

\[ x(t) = v_0 \tm t, \ y(t) = -\frac{1}{2} g \tm t^2 \]

因此，质点的运动方程为

\[ \vec{r}(t) = v_0 \tm t \,\vec{i} - \frac{1}{2} g \tm t^2 \,\vec{j} \]

轨迹方程是描述质点运动路径的数学表达式

在直角坐标系中：

从运动方程中消去时间 \(t\) 就可以求得轨迹方程

平抛运动的轨迹方程

承接上一个例子，求质点的轨迹方程

质点在 \(xOy\) 平面上作平抛运动，其运动方程为

\[ \begin{align} x &= v_0 \tm t \tag{1} \label{eq:x}\\ y &= -\frac{1}{2} g \tm t^2 \tag{2} \label{eq:y} \end{align} \]

由 \(\eqref{eq:x}\) 可得 \(t = v_0^{-1} x\)，代入 \(\eqref{eq:y}\) 式中，得

\[ y = -\frac{1}{2} g \tm \rb{v_0^{-1} x}^2 = - \frac{g}{2 v_0^2} x^2 \]

因此，质点的轨迹方程为 \(\displaystyle x^2 + \frac{2 v_0^2}{g} y = 0\)