路程和速率

路程¶

路程是一个标量，描述质点运动轨迹的长度

习惯上用 \(s\) 表示路程，其国际标准单位为米 \((\mr{m})\)

如下图所示，质点沿着路径 \(L\) 从 \(A\) 点（起始位置）定向运动到 \(B\) 点，则经历的路程 \(s\) 就是 \(AB\) 间路径 \(L\) 的曲线弧长 \(\overset{\frown}{AB}\)

路程可表为时间的函数，\(s(t)\)；这里，\(s\) 可以随着 \(t\) 的增加而增加或保持不变，是 \(t\) 的单调非减函数

计算方法¶

从上面的图中可以看出，当选取弧段的 \(\dt{s}\) 趋于零时，其可以近似用 \(\abs{\dt{\vec{r}}\tm}\) 来表示，即

\[ \lim_{\dt{s} \to 0} \frac{\dt{s}}{\abs{\dt{\vec{r}}\tm}} = 1 = \frac{\d{s}}{\abs{\d{\vec{r}}\tm}} \]

其中，第二个等号由类比微商的定义得到

在直角坐标系中，\(\displaystyle \abs{\dt{\vec{r}}\tm} = \sqrt{(\dt{x})^2 + (\dt{y})^2}\)

当 \(\dt{s} \to 0\) 时，\(\displaystyle \d{s} = \abs{\d{\vec{r}}\tm} = \sqrt{(\d{x})^2 + (\d{y})^2}\)

因此，总路程

\[ \begin{align} s = \int_L \d{s} = \int_L \sqrt{(\d{x})^2 + (\d{y})^2} = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\rb{\d{x} \over \d{t}}^2 + \rb{\d{y} \over \d{t}}^2} \,\d{t} \tag{1} \label{eq:distance} \end{align} \]

\[ \begin{align} s &= \int_L \d{s} = \int_L \sqrt{(\d{x})^2 + (\d{y})^2} \\ &= \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\rb{\d{x} \over \d{t}}^2 + \rb{\d{y} \over \d{t}}^2} \,\d{t} \end{align} \tag{1} \label{eq:distance_small} \]

上式中，\(t_1 \leq t_2\)，分别对应运动到 \(A\) 点和 \(B\) 点的时刻 \(\eqref{eq:distance}\)

三维直角坐标系中，\(\eqref{eq:distance}\) 可以改写为

\[ s = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\rb{\d{x} \over \d{t}}^2 + \rb{\d{y} \over \d{t}}^2 + \rb{\d{z} \over \d{t}}^2} \,\d{t} \]

速率¶

速率是一个标量，描述质点路程变化的快慢

习惯上用 \(v\) 表示速率，其国际标准单位为米 \(\cdot\) 秒\(^{-1}\) \(\mr{\rb{m \cdot s^{-1}}}\)

平均速率¶

平均速率描述质点在一段时间内路程变化的快慢，习惯上用 \(\bar{v}\) 表示，

\[ \bar{v} = \frac{\dt{s}}{\dt{t}} \]

瞬时速率¶

瞬时速率描述质点在某一时刻路程变化的快慢，习惯上用 \(v\) 表示

\[ v = \lim_{\dt{t} \to 0} \frac{\dt{s}}{\dt{t}} = \frac{\d{s}}{\d{t}} \]

速率与速度的关系¶

速率等于速度的大小，这也是计算速率的常用方法

\[ v = \abs{\vec{v}\,} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} \]

当 \(\dt{t}\) 趋于 \(0\) 时

\[ \lim_{\dt{t} \to 0} \frac{\dt{s}}{\abs{\dt{\vec{r}}\tm}} = 1 \]

在分式的分子和分母上同除以 \(\dt{t}\)，再取 \(\dt{t} \to 0^{+}\) 的极限

\[ \lim_{\dt{t} \to 0^{+}} \frac{\dt{s} / \dt{t}}{\abs{\dt{\vec{r}}\tm} / \dt{t}} = \lim_{\dt{t} \to 0^{+}} \frac{\dt{s} / \dt{t}}{\abs{\dt{\vec{r}} / \dt{t}}} = \frac{v}{\abs{\vec{v}\tm}} = 1 \]

\[ \begin{align} &\lim_{\dt{t} \to 0} \frac{\dt{s} / \dt{t}}{\abs{\dt{\vec{r}}\tm} / \dt{t}} = \lim_{\dt{t} \to 0^{+}} \frac{\dt{s} / \dt{t}}{\abs{\dt{\vec{r}} / \dt{t}}} \\ &= \frac{v}{\abs{\vec{v}\tm}} = 1 \end{align} \]

得到 \(\displaystyle v = \abs{\vec{v}\tm}\)