质点运动学要点总结
质点
理想模型，具有质量但形状和大小可以忽略的物体
可抽象为质点的条件：
- 物体具有质量，但形状和大小等因素可以忽略
- 物体仅作平动（没有发生旋转）
参考系和坐标系
参考系
为了描述物体运动而选择的标准物
常见参考系：地面、实验室、地心和日心
坐标系
建立在参考系上的数学工具，通过一组有序的数值（坐标）确定空间中某一点的位置
常见坐标系：笛卡尔坐标系、极坐标系、球坐标系和圆柱坐标系
位置矢量
简称“位矢”，描述质点或物体相对于参考点位置的矢量
用矢量 \(\vec{r}\) 表示，由坐标原点指向目标点
直角坐标系中可表示为：
\[
\vec{r} = x \,\vec{i} + y \,\vec{j} + z \,\vec{k}
\]
位矢的大小：质点到原点的距离
\[
r = \big| \vec{r}\tm \big| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}
\]
位矢的方向余弦：
\[
\cos \alpha = \frac{x}{r} ,\
\cos \beta = \frac{y}{r} ,\
\cos \gamma = \frac{z}{r}
\]
位矢的方向角：
\[
\alpha = \arccos \frac{x}{r} ,\
\beta = \arccos \frac{y}{r} ,\
\gamma = \arccos \frac{z}{r}
\]
运动和轨迹方程
运动方程
质点的位置矢量 \(\vec{r}\) 随时间 \(t\) 变化的函数关系式，\(\vec{r}(t)\)
直角坐标系中可表示为：
\[
\vec{r}(t) = x(t) \,\vec{i} + y(t) \,\vec{j} + z(t) \,\vec{k}
\]
轨迹方程
描述质点运动路径的数学表达式，从运动方程中消去时间 \(t\)
直角坐标系中可表示为：
- 二维：\(\displaystyle f(x,y) = 0\)
- 三维：\(\displaystyle f(x,y,z) = 0, \ g(x,y,z) = 0\)
两类方程间的关系
\[
\boxed{
\begin{array}{c} \\ \text{运动}\\ \text{方程} \\ \quad\end{array}
}
\begin{array}{c}
\xrightarrow{\displaystyle \quad\text{唯一确定}\quad} \\
\xleftarrow{\displaystyle \quad\text{无法确定}\quad}
\end{array}
\boxed{
\begin{array}{c} \\ \text{轨迹}\\ \text{方程} \\ \quad \end{array}
}
\]
位移和路程
位移
矢量，描述一段时间内质点位置的变化，用 \(\dt{\vec{r}}\) 表示
直角坐标系中可表示为：
\[
\begin{align}
\dt{\vec{r}} & = \vec{r}_2 - \vec{r}_1
= \dt{x} \,\vec{i} + \dt{y} \,\vec{j} + \dt{z} \,\vec{k} \\
& = \rb{x_2 - x_1} \,\vec{i} + \rb{y_2 - y_1} \,\vec{j} + \rb{z_2 - z_1} \,\vec{k}
\end{align}
\]
路程
标量，描述质点运动轨迹的长度，用 \(s\) 表示
\(s(t)\) 是 \(t\) 的单调非递减函数
计算方法（直角坐标系）：
-
路程微元
\[
\d{s} = \abs{\d{\vec{r}} \tm} = \sqrt{\rb{\d{x}}^2 + \rb{\d{y}}^2 + \rb{\d{z}}^2}
\]
-
总路程
\[
\begin{align}
& s = \int_L \d{s} = \int_L \sqrt{\rb{\d{x}}^2 + \rb{\d{y}}^2 + \rb{\d{z}}^2}\\
& = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\rb{\d{x} \over \d{t}}^2 + \rb{\d{y} \over \d{t}}^2 + \rb{\d{z} \over \d{t}}^2} \d{t} \\
& = \int_{t_1}^{t_2} v \,\d{t}
\end{align}
\]
速度和速率
速度
矢量，描述物体运动方向和快慢的物理量
平均速度：描述质点在一段时间内位置状态变化快慢，用 \(\bar{\vec{v}}\) 表示
\[
\begin{align}
\bar{\vec{v}} & = \frac{\dt{\vec{r}}}{\dt{t}}
= \frac{\dt{x}}{\dt{t}} \,\vec{i} + \frac{\dt{y}}{\dt{t}} \,\vec{j} + \frac{\dt{z}}{\dt{t}} \,\vec{k} \\
& = \bar{v}_x \,\vec{i} + \bar{v}_y \,\vec{j} + \bar{v}_z \,\vec{k}
\end{align}
\]
瞬时速度：简称“速度”，描述质点在某个时刻位置状态的变化快慢，用 \(\vec{v}\) 表示
\[
\begin{align}
\vec{v} & = \lim_{\dt{t} \to 0} \frac{\dt{\vec{r}}}{\dt{t}}
= \frac{\d{\vec{r}}}{\d{t}} \\
& = \frac{\d{x}}{\d{t}} \,\vec{i} + \frac{\d{y}}{\d{t}} \,\vec{j} + \frac{\d{z}}{\d{t}} \,\vec{k} \\
& = v_x \,\vec{i} + v_y \,\vec{j} + v_z \,\vec{k}
\end{align}
\]
速率
标量，描述质点路程变化的快慢
平均速率：描述质点在一段时间内路程变化的快慢，用 \(\bar{v}\) 表示
\[
\bar{v} = \frac{\dt{s}}{\dt{t}}
\]
瞬时速率：简称“速率”，描述质点在某个时刻路程变化的快慢，用 \(v\) 表示
\[
v = \lim_{\dt{t} \to 0} \frac{\dt{s}}{\dt{t}} = \frac{\d{s}}{\d{t}}
\]
重要关系
速率等于速度的大小：\(\displaystyle v = \abs{\vec{v}\tm}\)
加速度
平均加速度：描述质点在一段时间内速度变化的平均值，用 \(\bar{\vec{a}}\) 表示
\[
\begin{align}
\bar{\vec{a}} &= \frac{\dt{\vec{v}}}{\dt{t}}
= \frac{\dt{v}_x}{\dt{t}} \,\vec{i} + \frac{\dt{v}_y}{\dt{t}} \,\vec{j} + \frac{\dt{v}_z}{\dt{t}} \,\vec{k} \\
& = \bar{a}_x \,\vec{i} + \bar{a}_y \,\vec{j} + \bar{a}_z \,\vec{k}
\end{align}
\]
瞬时加速度：简称“加速度”，描述质点在某个时刻速度变化的快慢，用 \(\vec{a}\) 表示
\[
\begin{align}
\vec{a} & = \lim_{\dt{t} \to 0} \frac{\dt{\vec{v}}}{\dt{t}}
= \frac{\d{\vec{v}}}{\d{t}} \\
& = \frac{\d{v}_x}{\d{t}} \,\vec{i} + \frac{\d{v}_y}{\d{t}} \,\vec{j} + \frac{\d{v}_z}{\d{t}} \,\vec{k} \\
& = a_x \,\vec{i} + a_y \,\vec{j} + a_z \,\vec{k}
\end{align}
\]
一般曲线运动
位矢可表为：\(\displaystyle \vec{r}\sb{s\rb{t}}\)
速度
\[
\vec{v} = \frac{\d{\vec{r}}}{\d{t}}
= \underbrace{\frac{\d{\vec{r}}}{\d{s}}}_{\displaystyle \vec{e}_\mr{t}} \underbrace{\frac{\d{s}}{\d{t}}}_{\displaystyle v}
= v \, \vec{e}_\mr{t}
\]
其中，\(\displaystyle \vec{e}_\mr{t} = \vec{v} / v\)
加速度
\[
\begin{gather}
\vec{a} = \frac{\d{\vec{v}}}{\d{t}}
= \underbrace{\frac{\d{v}}{\d{t}} \vec{e}_\mr{t}}_{\displaystyle \vec{a}_\mr{t}}
+ \underbrace{v \frac{\d{\vec{e}_\mr{t}}}{\d{t}}}_{\displaystyle \vec{a}_\mr{n}}
= \vec{a}_\mr{t} + \vec{a}_\mr{n} \\
\vec{a}_\mr{t} \perp \vec{a}_\mr{n},\
a = \sqrt{a_\mr{t}^2 + a_\mr{n}^2}
\end{gather}
\]
切向加速度：\(\displaystyle \vec{a}_\mr{t} = a_\mr{t} \, \vec{e}_\mr{t}\)，其中，\(\displaystyle a_\mr{t} = \frac{\d{v}}{\d{t}}\)
法向加速度：\(\displaystyle \vec{a}_\mr{n} = a_\mr{n} \, \vec{e}_\mr{n}\)，其中，\(\displaystyle a_\mr{n} = \frac{v^2}{\rho}\)，\(\rho\) 为曲率半径
平面圆周运动
质点到某个固定点的距离保持恒定，运动的轨迹为一个圆周
位置、角位置、有向弧长和角位移
位置：\(\overrightarrow{OA}\)
\[
\vec{r} = r \cos\theta \,\vec{i} + r \sin\theta \,\vec{j}
,\
r = \abs{\vec{r}\tm}
\]
角位置：\(\vec{r}\) 相对于极轴（\(x\) 轴）转过的角 \(\theta\)，单位为 \(\mr{rad}\)
有向弧长：从极轴出发，沿着圆周到达质点经过的弧长，\(\displaystyle s = r \tm \theta\)
角位移：质点角位置的变化，\(\dt{\theta} = \theta_2 - \theta_1\)
\[
\dt{s} = r \tm \dt{\theta},\
\d{s} = r \,\d{\theta}
\]
- 逆时针绕转：\(\theta >0\)，\(s>0\)，\(\dt{\theta} >0\)，\(\dt{s}>0\)
- 顺时针绕转：\(\theta <0\)，\(s<0\)，\(\dt{\theta} <0\)，\(\dt{s}<0\)
角速度和速度
角速度：描述质点绕转快慢和方向，单位为 \(\mr{rad \cdot s^{-1}}\)
平均角速度：在一段时间内角位置的变化量，\(\displaystyle \bar{\omega} = \frac{\dt{\theta}}{\dt{t}}\)
瞬时角速度：简称“角速度”，在某个时刻角位置的变化量，用 \(\omega\) 表示
\[
\omega = \lim_{\dt{t} \to 0} \frac{\dt{\theta}}{\dt{t}}
= \frac{\d{\theta}}{\d{t}}
\]
- 逆时针绕转：\(\omega >0\)，顺时针绕转：\(\omega <0\)
速度：\(\displaystyle \vec{v} = v \,\vec{e}_\theta,\ v = \frac{\d{s}}{\d{t}} = r \tm \omega\)，其中，\(\displaystyle \vec{e}_\theta\) 为沿着逆时针的切向单位矢量
角加速度和加速度
角加速度：描述质点角速度变化快慢和方向，单位为 \(\mr{rad \cdot s^{-2}}\)
平均角加速度：在一段时间内角速度的变化量，\(\displaystyle \bar{\alpha} = \frac{\dt{\omega}}{\dt{t}}\)
瞬时角加速度：简称“角加速度”，在某个时刻角速度的变化量，用 \(\alpha\) 表示
\[
\alpha = \lim_{\dt{t} \to 0} \frac{\dt{\omega}}{\dt{t}}
= \frac{\d{\omega}}{\d{t}}
\]
加速度：\(\displaystyle \vec{a} = \vec{a}_\mr{t} + \vec{a}_\mr{n}\)
\[
\begin{gather}
\vec{a}_\mr{t} = a_\mr{t} \,\vec{e}_\mr{\theta},\ a_\mr{t} = \frac{\d{v}}{\d{t}} \\
\vec{a}_\mr{n} = a_\mr{n} \,\vec{e}_\mr{n},\ a_\mr{n} = \frac{v^2}{r}\\
\vec{a}_\mr{t} \perp \vec{a}_\mr{n},\ a = \sqrt{a_\mr{t}^2 + a_\mr{n}^2}
\end{gather}
\]
经典相对运动
伽利略变换，物体在不同参考系中位置、速度和加速度之间的变换
适用范围：相对运动速率远小于光速
位置变换：\(\displaystyle \vec{r}_{0P} = \vec{r}_{01} + \vec{r}_{1P}\)
速度变换：\(\displaystyle \vec{v}_{0P} = \vec{v}_{01} + \vec{v}_{1P}\)
加速度变换：\(\displaystyle \vec{a}_{0P} = \vec{a}_{01} + \vec{a}_{1P}\)