经典相对运动

经典运动变换¶

经典运动变换也称为“伽利略变换”，描述物体在不同参考系中位置、速度和加速度之间的变换关系

在此变换中，时间在不同运动状态的参考系中流逝的快慢相同，空间尺度在不同运动状态的参考系中保持不变

当相对运动速率远小于光速时，经典运动变换是非常准确的

此处所说的不同参考系之间相对运动仅限于平动，暂不考虑存在相对转动的情况

位置变换描述的是同一个物体在两个不同参考系中的位置之间的关系

如上图所示，质点 \(P\) 在 \(S_0\) 和 \(S_1\) 参考系中的位矢分别为 \(\vec{r}_0\) 和 \(\vec{r}_1\)，\(S_1\) 相对于 \(S_0\) 的位矢为 \(\vec{r}_{01}\)。根据矢量相加的规则可得位置变换关系

\[ \vec{r}_0 = \vec{r}_{01} + \vec{r}_1 \tag{1} \label{eq1} \]

如果认为参考系 \(S_0\) 是静止的，\(\vec{r}_0\) 就被称为绝对位置，\(\vec{r}_1\) 被称为相对位置

速度变换描述的是同一个物体在两个不同参考系中的速度之间的关系

对方程 \(\eqref{eq1}\) 的等号两边分别对 \(t\) 求导

\[ \frac{\d{\vec{r}_0}}{\d{t}} = \vec{v}_0,\ \frac{\d{\vec{r}_{01}}}{\d{t}} = \vec{v}_{01},\ \frac{\d{\vec{r}_1}}{\d{t}} = \vec{v}_1 \]

其中，\(\vec{v}_0\) 和 \(\vec{v}_1\) 分别为质点 \(P\) 相对于 \(S_0\) 和 \(S_1\) 参考系的速度；\(\vec{v}_{01}\) 为 \(S_1\) 相对于 \(S_0\) 的速度，可得到速度变换关系

\[ \vec{v}_0 = \vec{v}_{01} + \vec{v}_1 \tag{2} \label{eq2} \]

如果认为参考系 \(S_0\) 是静止的，\(\vec{v}_0\) 就被称为绝对速度，\(\vec{v}_1\) 被称为相对速度，\(\vec{v}_{01}\) 被称为牵连速度

加速度变换描述的是同一个物体在两个不同参考系中的加速度之间的关系

与速度变换类似，对方程 \(\eqref{eq2}\) 的等号两边分别对 \(t\) 求导

\[ \frac{\d{\vec{v}_0}}{\d{t}} = \vec{a}_0,\ \frac{\d{\vec{v}_{01}}}{\d{t}} = \vec{a}_{01},\ \frac{\d{\vec{v}_1}}{\d{t}} = \vec{a}_1 \]

其中，\(\vec{a}_0\) 和 \(\vec{a}_1\) 分别为质点 \(P\) 相对于 \(S_0\) 和 \(S_1\) 参考系的加速度；\(\vec{a}_{01}\) 为 \(S_1\) 相对于 \(S_0\) 的加速度，可得到加速度变换关系

\[ \vec{a}_0 = \vec{a}_{01} + \vec{a}_1 \tag{3} \label{eq3} \]

如果认为参考系 \(S_0\) 是静止的，\(\vec{a}_0\) 就被称为绝对加速度，\(\vec{a}_1\) 被称为相对加速度，\(\vec{a}_{01}\) 被称为牵连加速度

Tip

采用指标串联法，可以方便地写出伽利略变换下的位置、速度和加速度变换