平面圆周运动

平面圆周运动是一种特殊的曲线运动，满足曲线运动的一般规律

质点作圆周运动时，质点到某个固定点的距离保持恒定，运动的轨迹为一个圆周

采用平面极坐标来描述圆周运动较为方便

角位置¶

在圆周运动中，角位置是描述质点相对于参考位置转过的角，通过它可以确定质点在圆周上的方位

如下图所示，质点 \(A\) 绕 \(O\) 点作圆周运动，分别选择原点 \(O\) 和 \(x\) 轴正方向作为极坐标的极点和极轴，质点 \(A\) 的位置矢量为 \(\vec{r}\)

位矢 \(\vec{r}\) 相对于极轴转过的角 \(\theta\) 就是质点 \(A\) 的角位置，其常用单位为弧度（\(\mr{rad}\)）

质点 \(A\) 的极坐标表示为 \((r, \theta \mkern{1mu})\)，其中，\(r = \abs{\vec{r}\tm}\)

\({\theta}>0\) 和 \(\theta<0\) 分别对应质点沿逆时针和顺时针方向绕转到质点 \(A\)

角位移¶

角位移是描述质点角位置的变化的物理量，表示质点从初始角位置转到末了角位置所扫过的角度；角位移的单位也为 \(\mr{rad}\)

通常用 \(\dt{\theta}\) 表示角位移，若初始角位置和末了角位置分别为 \(\theta_1\) 和 \(\theta_2\)，则

\[ \dt{\theta} = \theta_2 - \theta_1 \]

与角位置类似，\(\dt{\theta}>0\) 对应沿逆时针方向绕转，而 \(\dt{\theta}<0\) 则对应沿顺时针方向绕转

角速度¶

在圆周运动中，角速度是描述质点绕转快慢和方向的物理量

角速度表示质点在单位时间内转过的角度，其单位为 弧度每秒（\(\mr{rad \cdot s^{-1}}\)）或 度每秒（\(\mr{^\circ \cdot s^{-1}}\)）

平均角速度¶

平均角速度描述物体在一段时间内角位置的变化量，用 \(\bar{\omega}\) 表示

\[ \bar{\omega} = \frac{\dt{\theta}}{\dt{t}} \]

瞬时角速度¶

瞬时角速度也称为“角速度”，它描述物体在某个时刻角位置的变化量，用 \(\omega\) 表示

\[ \omega = \lim_{\d{t} \to 0} \frac{\dt{\theta}}{\dt{t}} = \frac{\d{\theta}}{\d{t}} \]

角加速度¶

在圆周运动中，角加速度是描述质点角速度变化快慢和方向的物理量

角加速度表示质点在单位时间内角速度的变化率，其单位为 弧度 \(\cdot\) 秒\(^{-2}\)（\(\mr{rad \cdot s^{-2}}\)）或 度 \(\cdot\) 秒\(^{-2}\)（\(\mr{^\circ \cdot s^{-2}}\)）

\[ \alpha = \frac{\d{\omega}}{\d{t}} \]

平均角速度¶

平均角加速度描述物体在一段时间内角速度的变化量，用 \(\bar{\alpha}\) 表示

\[ \bar{\alpha} = \frac{\dt{\omega}}{\dt{t}} \]

瞬时角加速度¶

瞬时角加速度也称为“角加速度”，它描述物体在某个时刻角速度的变化量，用 \(\alpha\) 表示

\[ \alpha = \lim_{\dt{t} \to 0} \frac{\dt{\omega}}{\dt{t}} = \frac{\d{\omega}}{\d{t}} \]

有向弧长¶

有向弧长表示沿着圆周某一方向经过的弧长，用来描述质点在圆周上运动的路径和方向

通常用 \(s\) 来表示有向弧长，其国际标准单位为米（\(\mr{m}\)）

这里的 \(s\) 表示有向弧长，与前面的路程只是符号相同，但含义不同。\(s\) 类似于质点在一维 \(x\) 轴上的位置，可正可负

具体说来，有向弧长是从圆周上的某个起点（通常为圆周与极轴的交点）出发，沿着圆周到达质点经过的弧长

若质点沿着逆时针方向到达，则有向弧长 \(s>0\)，若沿着顺时针方向到达，则有向弧长 \(s<0\)

与角位置的关系¶

有向弧长 \(s\) 与角位置 \(\theta\) 的关系为：\(\displaystyle s = r \, \theta\)

有向弧长的变化量 \(\dt{s}\) 与角位移 \(\dt{\theta}\) 的关系为：\(\displaystyle \dt{s} = r \, \dt{\theta}\)

位置¶

如上图所示，质点 \(A\) 的位置矢量 \(\vec{r}\) 与角位置 \(\theta\) 的关系为

\[ \vec{r} = r \cos\theta \,\vec{i} + r \sin\theta \,\vec{j} \]

速度¶

在圆周运动中，质点的速度也被称为“线速度”，用 \(v\) 表示

质点的速度 \(v\) 与角速度 \(\omega\) 的关系为

\[ v = r \tm \omega \]

这里的 \(v\) 表示速度，与前面的速率只是符号相同，但含义不同

速度的详细推导见附录 \(\blacktriangleright\) 平面圆周运动的速度

加速度¶

在圆周运动中，质点的加速度

\[ \vec{a} = \vec{a}_\mr{t} + \vec{a}_\mr{n} \]

其中，\(\vec{a}_\mr{t}\) 和 \(\vec{a}_\mr{n}\) 分别为切向加速度和法向加速度

\(\displaystyle \vec{a}_\mr{t} = a_\mr{t} \,\vec{e}_{\theta}\)，其中，\(\displaystyle a_\mr{t} = r \tm \alpha\)
\(\displaystyle \vec{a}_\mr{n} = a_\mr{n} \,\vec{e}_\mr{n}\)，其中，\(\displaystyle a_\mr{n} = r \tm \omega^2 = v \tm \omega = {v^2 \over r}\)

\(\vec{a}\) 的大小 \(\displaystyle a = \sqrt{a_\mr{t}^2 + a_\mr{n}^2}\)，其与 \(\vec{e}_\theta\) 间的夹角 \(\varphi\) 满足 \(\displaystyle \tan\varphi = \frac{a_\mr{t}}{a_\mr{n}}\)

加速度的详细推导见附录 \(\blacktriangleright\) 平面圆周运动的加速度