位移、速度和加速度

位移

位移是指物体从一个位置移动到另一个位置的变化，它是描述一段时间内质点位置变化的物理量

位移是一个矢量，习惯上用 \(\dt{\vec{r}}\) 表示，其国际标准单位为 米，符号为 \(\mr{m}\)

公式表述

从 \(t_1\) 时刻到 \(t_2\) 时刻，质点的位置矢量分别为 \(\vec{r}_1\) 和 \(\vec{r}_2\)，则在这段时间内的位移

\[ \dt{\vec{r}} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 \]

在直角坐标系中

\[ \vec{r}_1 = x_1 \,\vec{i} + y_1 \,\vec{j} + z_1 \,\vec{k},\ \vec{r}_2 = x_2 \,\vec{i} + y_2 \,\vec{j} + z_2 \,\vec{k} \]

\[ \begin{align} \vec{r}_1 = x_1 \,\vec{i} + y_1 \,\vec{j} + z_1 \,\vec{k}\\ \vec{r}_2 = x_2 \,\vec{i} + y_2 \,\vec{j} + z_2 \,\vec{k} \end{align} \]

则位移

\[ \begin{aligned} \dt{\vec{r}} &= \rb{x_2 - x_1} \,\vec{i} + \rb{y_2 - y_1} \,\vec{j} + \rb{z_2 - z_1} \,\vec{k} \\ &= \dt{x} \,\vec{i} + \dt{y} \,\vec{j} + \dt{z} \,\vec{k} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \dt{\vec{r}} &= \rb{x_2 - x_1} \,\vec{i} + \rb{y_2 - y_1} \,\vec{j} \\ & \phantom{=} + \rb{z_2 - z_1} \,\vec{k} \\ & = \dt{x} \,\vec{i} + \dt{y} \,\vec{j} + \dt{z} \,\vec{k} \end{aligned} \]

其中，\(\dt{x}\)、\(\dt{y}\)、\(\dt{z}\) 分别是 \(\dt{\vec{r}}\) 在 \(x\)、\(y\) 和 \(z\) 方向上的分量

速度

速度是描述物体运动方向和快慢的物理量

速度包括平均速度和瞬时速度，它们都是矢量，国际标准单位均为 米 \(\cdot\) 秒\(^{-1}\)，符号为 \(\mr{m \cdot s^{-1}}\)

平均速度

平均速度描述质点在一段时间内位置状态变化快慢

例如，在 \(\dt{t}\) 时间内，质点的位移矢量为 \(\dt{\vec{r}}\)，那么，平均速度 \(\bar{\vec{v}}\) 就可以表示为：

\[ \bar{\vec{v}} = \frac{\dt{\vec{r}}}{\dt{t}} = \frac{\vec{r}_2 - \vec{r}_1}{t_2 - t_1} \]

其中，\(\vec{r}_1\) 和 \(\vec{r}_2\) 分别是 \(t_1\) 时刻和 \(t_2\) 时刻 \((t_1 < t_2)\) 的位置

在直角坐标系中，平均速度的公式可以写为：

\[ \begin{aligned} \bar{\vec{v}} &= \frac{\dt{x}}{\dt{t}} \,\vec{i} + \frac{\dt{y}}{\dt{t}} \,\vec{j} + \frac{\dt{z}}{\dt{t}} \,\vec{k} \\ &= \bar{v}_x \,\vec{i} + \bar{v}_y \,\vec{j} + \bar{v}_z \,\vec{k} \end{aligned} \]

瞬时速度

瞬时速度简称“速度”，描述质点在某个时刻位置状态的变化快慢

今后不作特别说明时，速度均指瞬时速度

求速度 \(\vec{v}\) 就是求在时间间隔 \(\dt{t} \to 0\) 时，平均速度的极限。 根据矢量求导的定义，这个极限就可以写为位置矢量 \(\vec{r}\) 对时间 \(t\) 求导。

\[ \vec{v} = \lim_{\dt{t} \to 0} \frac{\dt{\vec{r}}}{\dt{t}} = \frac{\d{\vec{r}}}{\d{t}} \tag{1} \label{eq:velocity} \]

在直角坐标系中，速度公式中的求导可以写为：

\[ \begin{aligned} {\vec{v}} &= \frac{\d{x}}{\d{t}} \,\vec{i} + \frac{\d{y}}{\d{t}} \,\vec{j} + \frac{\d{z}}{\d{t}} \,\vec{k} \\ &= {v}_x \,\vec{i} + {v}_y \,\vec{j} + {v}_z \,\vec{k} \end{aligned} \]

由速度的定义式 \(\eqref{eq:velocity}\) 可知，速度方向始终沿着运动轨迹的切线方向

加速度

加速度是描述物体速度变化的方向和快慢的物理量

加速度包括平均加速度和瞬时加速度，它们都是矢量，国际标准单位均为 米 \(\cdot\) 秒\(^{-2}\)，符号为 \(\mr{m \cdot s^{-2}}\)

平均加速度

平均加速度描述物体在一段时间内速度变化的平均值，用 \(\bar{\vec{a}}\) 表示

例如，在 \(\dt{t}\) 时间内，质点的速度的变化量为 \(\dt{\vec{v}}\)，那么，平均加速度 \(\bar{\vec{a}}\) 就可以表示为：

\[ \bar{\vec{a}} = \frac{\dt{\vec{v}}}{\dt{t}} = \frac{\vec{v}_2 - \vec{v}_1}{t_2 - t_1} \]

其中，\(\vec{v}_1\) 和 \(\vec{v}_2\) 分别为 \(t_1\) 和 \(t_2\) 时刻（\(t_1 < t_2\)）的速度

在直角坐标系中，平均加速度可表示为：

\[ \bar{\vec{a}} = \frac{\dt{v}_x}{\dt{t}} \,\vec{i} + \frac{\dt{v}_y}{\dt{t}} \,\vec{j} + \frac{\dt{v}_z}{\dt{t}} \,\vec{k} = \bar{a}_x \,\vec{i} + \bar{a}_y \,\vec{j} + \bar{a}_z \,\vec{k} \]

\[ \begin{align} \bar{\vec{a}} &= \frac{\dt{v}_x}{\dt{t}} \,\vec{i} + \frac{\dt{v}_y}{\dt{t}} \,\vec{j} + \frac{\dt{v}_z}{\dt{t}} \,\vec{k} \\ &= \bar{a}_x \,\vec{i} + \bar{a}_y \,\vec{j} + \bar{a}_z \,\vec{k} \end{align} \]

瞬时加速度

瞬时加速度，简称“加速度”，描述质点在某个时刻速度变化的快慢

习惯上，用 \({\vec{a}}\) 表示加速度

求加速度 \(\vec{a}\)，就是求平均加速度在 \(\dt{t} \to 0\) 时的极限

\[ \vec{a} = \lim_{\dt{t} \to 0} \frac{\dt{\vec{v}}}{\dt{t}} = \frac{\d{\vec{v}}}{\d{t}} \]

考虑到 \(\vec{v} = \d{\vec{r}} / \d{t}\)，因此，加速度可以写为位置对时间的二阶导数，即

\[ \vec{a} = \frac{\mr{d}^2 \tm \vec{r}}{{\d{t}^2}} \]

在直角坐标系中，加速度可表示为：

\[ \begin{align} \vec{a} &= \frac{\d{v_x}}{\d{t}} \,\vec{i} + \frac{\d{v_y}}{\d{t}} \,\vec{j} + \frac{\d{v_z}}{\d{t}} \,\vec{k} \\ &= a_x \,\vec{i} + a_y \,\vec{j} + a_z \,\vec{k} \end{align} \]