一般曲线运动

s通常，质点的运动轨迹为曲线，直线运动是一种特殊的曲线运动

本节将探讨和展示曲线运动的一般规律

运动方程的另一种形式¶

如下图所示，当质点沿曲线 \(L\) 运动时

这里，我们让位置矢量 \(\vec{r}\) 是路程 \(s\) 的函数，而路程 \(s\) 又是时间 \(t\) 的函数，就形成了位置关于时间的复合函数关系，\(\vec{r}\tm[s(t)]\)

速度¶

根据速度的定义和求导的链式法则，质点的速度

\[ \vec{v} = \frac{\d{\vec{r}}}{\d{t}} = \frac{\d{\vec{r}}}{\d{s}} \frac{\d{s}}{\d{t}} = v \, \vec{e}_\mr{t} \tag{1} \label{eq:vec_v} \]

其中，\(\displaystyle \frac{\d{s}}{\d{t}}\) 就是速率 \(v\)，\(\displaystyle \frac{\d{\vec{r}}}{\d{s}}\) 为切向单位矢量 \(\vec{e}_\mr{t}\)

\(\vec{e}_\mr{t}\) 为单位矢量的说明

当 \(\dt{s}\) 趋于 \(0\) 时，其大小就约接近位移微元 \(\dt{\vec{r}}\) 的大小，因此

\[ \abs{\vec{e}_\mr{t}} = \abs{ \frac{\d{\vec{r}}}{\d{s}} } = \lim_{\dt{s} \to 0} \abs{\frac{\dt{\vec{r}}}{\dt{s}}} = \lim_{\dt{s} \to 0} \frac{\abs{\dt{\vec{r}}\tm}}{\abs{\dt{s}}} = 1 \]

\[ \begin{align} \abs{\vec{e}_\mr{t}} &= \abs{ \frac{\d{\vec{r}}}{\d{s}} } = \lim_{\dt{s} \to 0} \abs{\frac{\dt{\vec{r}}}{\dt{s}}} \\ &= \lim_{\dt{s} \to 0} \frac{\abs{\dt{\vec{r}}\tm}}{\abs{\dt{s}}} = 1 \end{align} \]

公式 \(\eqref{eq:vec_v}\) 表明，速度可以表示为速率乘以切向单位矢量

加速度¶

一般曲线运动中，速率和方向都是时间 \(t\) 的函数，即

\[ \vec{v} = v(t) \,\vec{e}_\mr{t}(t) \]

因此，质点的加速度，类似于对函数之积求导

\[ \vec{a} = \frac{\d{\vec{v}}}{\d{t}} = \frac{\d{v}}{\d{t}} \vec{e}_\mr{t} + v \frac{\d{\vec{e}_\mr{t}}}{\d{t}} = \vec{a}_\mr{t} + \vec{a}_\mr{n} \tag{2} \label{eq:vec_a} \]

\[ \begin{align} \vec{a} &= \frac{\d{\vec{v}}}{\d{t}} = \frac{\d{v}}{\d{t}} \vec{e}_\mr{t} + v \frac{\d{\vec{e}_\mr{t}}}{\d{t}} \\ &= \vec{a}_\mr{t} + \vec{a}_\mr{n} \end{align} \tag{2} \label{eq:vec_a_small} \]

其中

\(\displaystyle \frac{\d{v}}{\d{t}} \vec{e}_\mr{t}\) 的方向沿着切向，称为切向加速度，记为 \(\vec{a}_\mr{t}\)
\(\displaystyle v \frac{\d{\vec{e}_\mr{t}}}{\d{t}}\) 为法向加速度 \(\vec{a}_\mr{n}\)，记为 \(\vec{a}_\mr{n}\)
\(\displaystyle \vec{a}_\mr{n} \perp \vec{a}_\mr{t}\)

\(\vec{a}_\mr{n} \perp \vec{a}_\mr{t}\) 的理由见附录 \(\blacktriangleright\) 法向加速度垂直于切向的说明

由矢量和的关系可知，总加速度 \(\vec{a}\)（红色矢量）、切向加速度 \(\vec{a}_\mr{t}\) 和法向加速度 \(\vec{a}_\mr{n}\)（粉色矢量）的在同一个平面 \(S\) 上（见下图）

切向加速度¶

切向加速度 \(\displaystyle \vec{a}_\mr{t} = a_\mr{t} \,\vec{e}_\mr{t}\)，其中，\(\displaystyle a_\mr{t} = \frac{\d{v}}{\d{t}}\) 为切向加速度的大小，或称加速度的切向分量

法向加速度¶

法向加速度 \(\displaystyle \vec{a}_\mr{n} = a_\mr{n} \,\vec{e}_\mr{n}\)，其中

\(\displaystyle a_\mr{n} = \frac{v^2}{\rho}\)，为法向加速度的大小，或称加速度的法向分量；
\(\rho\) 为曲率半径，也就是曲率圆的半径
若切向加速度突然消失（\(\vec{a}_\mr{t}=\vec{0}\)），质点以当前的速率和恒定大小的法向加速度（\(a_\mr{n}\) 恒定）在平面 \(S\) 上继续作匀速率圆周运动，该圆周就是曲率圆，其半径就是 \(\rho\)
\(\displaystyle \vec{e}_\mr{n}\) 为法向单位矢量，\(\vec{e}_\mr{n} \perp \vec{e}_\mr{t}\)，且指向轨迹的曲率中心（或称为凹侧方向）

法向加速度的详细说明见附录 \(\blacktriangleright\) 法向加速度形式的说明