附录

状态量与过程量¶

物理量根据其是否具有对过程的依赖性，可分为状态量和过程量

状态量¶

状态量是指系统在某一特定时刻的状态所决定的物理量

状态量只依赖于系统的当前状态，而与系统如何达到该状态的过程无关
常见的状态量包括温度、压力、体积、内能、熵等
例如，气体的温度和压力就是状态量，因为它们只取决于气体的当前状态
积分特性：状态量在任意闭合环路上的积分为零，即状态量的变化只与始末状态有关，与过程无关

过程量¶

过程量是指系统在一个过程中所经历的变化量

过程量依赖于系统从一个状态到另一个状态的中间过程或路径
常见的过程量包括热量、功等
例如，气体膨胀时所做的功和吸收的热量就是过程量，因为它们取决于气体膨胀的具体过程
积分特性：过程量在任意闭合环路上的积分不为零，即过程量的变化不仅取决于始末状态，还与中间过程有关

质点系动量定理推导 ¶

设质点系中有 \(N\) 个质点，第 \(i\) 个质点受到的外力的合力为 \(\vec{F}^\mr{ex}_i\)，受到第 \(j\) 个质点的作用力为 \(\vec{F}_{ij}\)。则第 \(i\) 个质点受到的合力

\[ \vec{F}_i = \vec{F}^\mr{ex}_i + \sum_{j=1}^N \vec{F}_{ij} \]

这里，我们规定 \(\vec{F}_{ii} = \vec{0}\)。用 \(\vec{p}_{1,i}\) 和 \(\vec{p}_{2,i}\) 分别表示第 \(i\) 个质点在 \(t_1\) 时刻和 \(t_2\) 时刻的动量，则根据单个质点动量定理

\[ \begin{gather} \int_{t_1}^{t_2} \vec{F}_i \,\d{t} = \vec{p}_{2,i} - \vec{p}_{1,i} \\ \text{即} \ \int_{t_1}^{t_2} \rb{\vec{F}_i^\mr{ex} + \sum_{j=1}^N \vec{F}_{ij}} \,\d{t} = \vec{p}_{2,i} - \vec{p}_{1,i} \end{gather} \]

当序号 \(i\) 遍历 \(1,2, \cdots ,N\)，可得到下列方程组

\[ \begin{align} \int_{t_1}^{t_2} \vec{F}_1^\mr{ex} \,\d{t} + \int_{t_1}^{t_2} \sum_{j=1}^N \vec{F}_{1j} \,\d{t} &= \vec{p}_{2,1} - \vec{p}_{1,1} \\ \int_{t_1}^{t_2} \vec{F}_2^\mr{ex} \,\d{t} + \int_{t_1}^{t_2} \sum_{j=1}^N \vec{F}_{2j} \,\d{t} &= \vec{p}_{2,2} - \vec{p}_{1,2} \\ & \vdots \\ \int_{t_1}^{t_2} \vec{F}_N^\mr{ex} \,\d{t} + \int_{t_1}^{t_2} \sum_{j=1}^N \vec{F}_{Nj} \,\d{t} &= \vec{p}_{2,N} - \vec{p}_{1,N} \end{align} \]

将上述方程组等号左边和右边的表达式分别相加

\[ \begin{gather} \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \sum_{i=1}^N \vec{F}_i^{\mr{ex}} \,\d{t}}_{(1)} + \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \vec{F}_{ij} \,\d{t}}_{(2)} \\ = \underbrace{\sum_{i=1}^N \vec{p}_{2,i}}_{(3)} - \underbrace{\sum_{i=1}^N \vec{p}_{1,i}}_{(4)} \end{gather} \]

其中

第 \((1)\) 项中，\(\displaystyle \sum_{i=1}^N \vec{F}_i^{\mr{ex}}\) 表示所有质点受到外力的合力，记为 \(\vec{F}^\mr{ex}\)
第 \((2)\) 项中，求和 \(\displaystyle \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \vec{F}_{ij}\) 可分解为成对出现的作用力和反作用力，如：\(\rb{\vec{F}_{12} + \vec{F}_{21}} + \rb{\vec{F}_{23} + \vec{F}_{32}} + \cdots\)，彼此之间相互抵消，总和为 \(\vec{0}\)
第 \((3)\) 项是 \(t_2\) 时刻的总动量，记为 \(\vec{P}_2\)；第 \((4)\) 项是 \(t_1\) 时刻的总动量，记为 \(\vec{P}_1\)

这样，就得到了质点系动量定理

\[ \int_{t_1}^{t_2} \vec{F}^\mr{ex} \,\d{t} = \vec{P}_2 - \vec{P}_1 \]

做功公式的推导¶

如图上半部分所示，质点在恒定合力 \(\vec{F}\) 作用下沿直线运动，经过一小段路程 \(\dt{s}\)（对应位移 \(\dt{\vec{r}}\)）时，外力对其所做的功为

\[ W = F_\mr{t} \tm \dt{s} \tag{1} \label{eq:work1} \]

其中，\(F_\mr{t}\) 为 \(\vec{F}\) 在运动方向上的切向分量，满足 \(\vec{F}_\mr{t} = F_\mr{t} \,\vec{e}_\mr{t}\)。

另一方面，由于 \(F_\mr{t} = \Big|\vec{F}\tm\Big| \cos\theta\)，且 \(\dt{s} = |\dt{\vec{r}}\tm|\)，式 \(\eqref{eq:work1}\) 可改写为

\[ W = \Big|\vec{F}\tm\Big| \cos\theta \tm |\dt{\vec{r}}\tm| = \vec{F} \cdot \dt{\vec{r}} \tag{2} \label{eq:work2} \]

如图下半部分所示，若质点在变力 \(\vec{F}\) 作用下沿曲线运动，可将路径 \(L\) 细分为多个小段，每段长度为 \(\dt{s}_i\)，对应位移 \(\dt{\vec{r}}_i\)

当每个分段足够短时，轨迹可近似为直线，且 \(\vec{F}\) 近似恒定。在第 \(i\) 段，外力所做的功为

\[ \dt{W}_i \approx F_{\mr{t},i} \tm \dt{s}_i \rb{ \text{或} \ \vec{F}_i \cdot \dt{\vec{r}}_i } \]

其中，\(\vec{F}_i\) 和 \(F_{\mr{t},i}\) 分别表示该分段内 \(\vec{F}\) 及其切向分量

沿路径 \(L\) 运动的总功可表示为

\[ W = \lim_{\dt{s}_i \to 0} \sum_{i=1}^n \dt{W}_i = \lim_{\dt{s}_i \to 0} \sum_{i=1}^n F_{\mr{t},i} \tm \dt{s}_i \ \rb{ \text{或} \ \lim_{\dt{s}_i \to 0} \sum_{i=1}^n \vec{F}_i \cdot \dt{\vec{r}}_i } \]

\[ \begin{align} &W = \lim_{\dt{s}_i \to 0} \sum_{i=1}^n \dt{W}_i \\ &= \lim_{\dt{s}_i \to 0} \sum_{i=1}^n F_{\mr{t},i} \tm \dt{s}_i \ \rb{ \text{或} \ \lim_{\dt{s}_i \to 0} \sum_{i=1}^n \vec{F}_i \cdot \dt{\vec{r}}_i } \end{align} \]

取极限后，上述求和式可分别写为曲线积分的形式

\[ W = \int_L F_\mr{t} \,\d{s} \rb{ \text{或} \ \int_L \vec{F} \cdot \d{\vec{r}} } \]

前者表示对弧长的曲线积分，后者则为对坐标的曲线积分，两种形式是等价的。

单个质点动能定理推导¶

合外力 \(\vec{F}\) 沿切向的分量为 \(F_\mr{t}\)，做功 \(W\) 的表达式可写为（对弧长曲线积分形式）

\[ W = \int_{L} F_\mr{t}(s) \,\d{s} \]

可将上式中的积分变换为对时间 \(t\) 的积分

\[ \int_{L} F_\mr{t}(s) \,\d{s} = \int_{t_1}^{t_2} F_\mr{t}[s(t)] \frac{\d{s}}{\d{t}} \,\d{t} = \int_{t_1}^{t_2} F_\mr{t}(t) v \,\d{t} \]

\[ \begin{align} &\int_{L} F_\mr{t}(s) \,\d{s} = \int_{t_1}^{t_2} F_\mr{t}[s(t)] \frac{\d{s}}{\d{t}} \,\d{t} \\ &= \int_{t_1}^{t_2} F_\mr{t}(t) v \,\d{t} \end{align} \]

根据牛顿定律，\(F_\mr{t} = m a_\mr{t} = m \dfrac{\d{v}}{\d{t}}\)。将 \(F_t\) 的表达式代入上式，就将对 \(t\) 的积分再次变换为对速率 \(v\) 的积分

\[ \int_{t_1}^{t_2} m \frac{\d{v}}{\d{t}} v \,\d{t} = \int_{v_1}^{v_2} m v \,\d{v} \]

其中，\(v_1\) 和 \(v_2\) 分别为 \(t_1\) 时刻和 \(t_2\) 时刻质点的速率。上式中最后的定积分结果为

\[ \left. \frac{1}{2} m v^2 \right|_{t_1}^{t_2} = \frac{1}{2} m v_2^2 - \frac{1}{2} m v_1^2 \]

可见，经典力学中，合力做功的结果导致 \(\dfrac{1}{2} m v^2\) 的变化，该项就是动能 \(E_\mr{k}\)

质点系动能定理推导¶

设质点系有 \(N\) 个质点，其中，第 \(i\) 个质点受到的合力

\[ \vec{F}_i = \vec{F}_i^\mr{in} + \vec{F}_i^\mr{ex} \]

其中，\(\vec{F}_i^\mr{in}\) 和 \(\vec{F}_i^\mr{ex}\) 分为内部作用力和外部作用力的合力，\(\vec{F}_i\) 做功

\[ \begin{gather} W_i = \int_L \vec{F}_i \cdot \d{\vec{r}} = \int_L \left( \vec{F}_i^\mr{in} + \vec{F}_i^\mr{ex} \right) \cdot \d{\vec{r}} \\ = \underbrace{\int_L \vec{F}_i^\mr{in} \cdot \d{\vec{r}}}_{\displaystyle W_i^\mr{in}} + \underbrace{\int_L \vec{F}_i^\mr{ex} \cdot \d{\vec{r}}}_{\displaystyle W_i^\mr{ex}} = W_i^\mr{in} + W_i^\mr{ex} \end{gather} \]

其中，\(W_i^\mr{in}\) 和 \(W_i^\mr{ex}\) 分别为内部作用力做功和外部作用力做功

用 \(E_{\mr{k}i,1}\) 和 \(E_{\mr{k}i,2}\) 分别表示起始和末了时刻第 \(i\) 号质点的动能，根据单个质点动能定理

\[ W_i^\mr{in} + W_i^\mr{ex} = E_{\mr{k}i,2} - E_{\mr{k}i,1} \]

上式中，对质点的序号求和

\[ \underbrace{\sum_{i=1}^N W_i^\mr{in}}_{\displaystyle W^\mr{in}} + \underbrace{\sum_{i=1}^N W_i^\mr{ex}}_{\displaystyle W^\mr{ex}} = \underbrace{\sum_{i=1}^N E_{\mr{k}i,2}}_{\displaystyle E_{\mr{k},2}} - \underbrace{\sum_{i=1}^N E_{\mr{k}i,1}}_{\displaystyle E_{\mr{k},1}} \tag{3} \label{eq:kinetic_energy} \]

其中

\(W^\mr{in}\) 和 \(W^\mr{ex}\) 分别为内部作用力和外部作用力做功之和
\(E_{\mr{k},1}\) 和 \(E_{\mr{k},2}\) 分别为质点系起始和末了时刻的总动能

这样就得到了质点系的动能定理

\[ W^\mr{in} + W^\mr{ex} = E_{\mr{k},2} - E_{\mr{k},1} \tag{4} \label{eq:kinetic_energy_2} \]

功能原理推导¶

在质点系动能定理式 \(\eqref{eq:kinetic_energy}\) 中，第 \(i\) 个质点受到的内部作用力 \(\vec{F}_i^\mr{in}\) 可以包含保守力 \(\vec{F}_{i,\mr{c}}^\mr{in}\) 和非保守力 \(\vec{F}_{i,\mr{nc}}^\mr{in}\)。类似的，内部作用力做功也可分解为保守力做功 \(\vec{W}_{i,\mr{c}}^\mr{in}\) 和非保守力做功 \(\vec{W}_{i,\mr{nc}}^\mr{in}\)，即

\[ \vec{F}_i^\mr{in} \begin{cases} \vec{F}_{i,\mr{c}}^\mr{in} \\ \vec{F}_{i,\mr{nc}}^\mr{in} \end{cases} ,\quad \vec{W}_i^\mr{in} \begin{cases} \vec{W}_{i,\mr{c}}^\mr{in} \\ \vec{W}_{i,\mr{nc}}^\mr{in} \end{cases} \]

将这样的关系代入式 \(\eqref{eq:kinetic_energy}\) 中

\[ \sum_{i=1}^N \rb{W_{i,\mr{c}}^\mr{in} + W_{i,\mr{nc}}^\mr{in}} + \sum_{i=1}^N W_i^\mr{ex} = \sum_{i=1}^N E_{\mr{k}i,2} - \sum_{i=1}^N E_{\mr{k}i,1} \tag{5} \label{eq:kinetic_energy_3} \]

\[ \begin{gather} \sum_{i=1}^N \rb{W_{i,\mr{c}}^\mr{in} + W_{i,\mr{nc}}^\mr{in}} + \sum_{i=1}^N W_i^\mr{ex} \\ = \sum_{i=1}^N E_{\mr{k}i,2} - \sum_{i=1}^N E_{\mr{k}i,1} \end{gather} \tag{5} \label{eq:kinetic_energy_3_small} \]

根据势能的定义，内力中保守力做功 \(W_{i,\mr{c}}^\mr{in}\) 可以表示对应势能的变化，即

\[ W_{i,\mr{c}}^\mr{in} = -\rb{E_{\mr{p}i,2} - E_{\mr{p}i,1}} \tag{6} \label{eq:potential_energy} \]

将 \(\eqref{eq:potential_energy}\) 代入式 \(\eqref{eq:kinetic_energy_3}\)\(\eqref{eq:kinetic_energy_3_small}\) 中，并将势能与动能合并，得

\[ \underbrace{\sum_{i=1} W_{i,\mr{nc}}^\mr{in}}_{\displaystyle W_{\mr{nc}}^\mr{in}} + \underbrace{\sum_{i=1}^N W_i^\mr{ex}}_{\displaystyle W^\mr{ex}} = \underbrace{\sum_{i=1}^N \rb{E_{\mr{k}i,2} + E_{\mr{p}i,2}}}_{\displaystyle E_2} - \underbrace{\sum_{i=1}^N \rb{E_{\mr{k}i,1} + E_{\mr{p}i,1}}}_{\displaystyle E_1} \]

\[ \begin{gather} \underbrace{\sum_{i=1} W_{i,\mr{nc}}^\mr{in}}_{\displaystyle W_{\mr{nc}}^\mr{in}} + \underbrace{\sum_{i=1}^N W_i^\mr{ex}}_{\displaystyle W^\mr{ex}} \\ = \underbrace{\sum_{i=1}^N \rb{E_{\mr{k}i,2} + E_{\mr{p}i,2}}}_{\displaystyle E_2} - \underbrace{\sum_{i=1}^N \rb{E_{\mr{k}i,1} + E_{\mr{p}i,1}}}_{\displaystyle E_1} \end{gather} \]

其中，\(W_{\mr{nc}}^\mr{in}\) 为内力中的非保守力做功之和，\(E_1\) 和 \(E_2\) 分别为质点系起始和末了状态的机械能（动能和势能之和）

因此，动能定理变化为下面的形式

\[ W_{\mr{nc}}^\mr{in} + W^\mr{ex} = E_2 - E_1 \]