质点动力学总结¶

惯性参考系¶

简称“惯性系”，是一个不受任何其它物体作用的参考系

在惯性系中，牛顿第一定律（惯性定律）成立

惯性系的特性¶

在所有惯性系中，物理定律的形式保持一致
所有惯性系之间相对静止或作匀速直线运动
描述物体的运动不需要引入惯性力

牛顿定律¶

描述物体所受的外力与物体的运动状态之间的关系

适用范围：

宏观（物体的尺度远大于原子或亚原子微粒）
低速（相对参考系的运动速率远小于光速）

第一和第三定律¶

牛顿第一定律：又称“惯性定律”，任何物体都要保持静止或者匀速直线运动的状态，直到其他物体的作用迫使它改变为止

\[ \vec{F} = \vec{0},\ \vec{v} = \vec{v}_0 \ \text{（常矢量）} \]

牛顿第三定律：又称“作用力与反作用力定律”，作用力与反作用力等大、反向、同生共灭、为同类型力

\[ \vec{F} = - \vec{F}^\prime \]

牛顿第二定律¶

也称“加速度定律”，物体动量对时间的变化率等于所受的合力

\[ \vec{F} = \frac{\d{\vec{p}}}{\d{t}}, \ \vec{F} = m \vec{a}\ \text{（质量恒定）} \]

几种常见的作用力¶

弹性力¶

物体作弹性形变产生的力

弹簧弹性力：\(\displaystyle F = - k \tm x\)

摩擦力¶

沿着两个物体接触面，阻碍相对滑动或相对滑动趋势的阻力

静摩擦力（两个物体相对静止）：阻碍相对滑动趋势

最大静摩擦力大小：\(\displaystyle {F}_{\mr{f}0} = \mu_0 F_N\)

滑动摩擦力（两个物体相对滑动）：与相对滑动方向相反

滑动摩擦力大小：\(\displaystyle F_{\mr{f}} = \mu F_N\)

引力¶

任何两质量体之间的相互吸引作用

\[ \vec{F} = -G \frac{m_1 m_2}{r^3} \vec{r} = -G \frac{m_1 m_2}{r^2} \vec{e}_r \]

冲量和动量定理¶

冲量¶

描述力对时间的累积效应，合力的冲量将改变物体的动量

\[ \begin{gather} \vec{I} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F}\rb{t} \,\d{t} \\ I_x = \int_{t_1}^{t_2} F_x\rb{t} \,\d{t},\ I_y = \int_{t_1}^{t_2} F_y\rb{t} \,\d{t},\ \cdots \end{gather} \]

动量定理¶

质点所受合力的冲量，等于该质点动量的变化量

单个质点：\(\displaystyle \vec{I} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F} \,\d{t} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1\)

质点系：\(\displaystyle \vec{I} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F}^\mr{ex} = \vec{P}_2 - \vec{P}_1\)

动量守恒¶

系统的总动量保持恒定，系统所受合外力必须为零

\[ \vec{P} = \vec{P}_0 \ \Leftrightarrow \ \vec{F}^\mr{ex} = \vec{0} \]

做功和动能定理¶

做功¶

力对空间的累积效应，合力做功可以改变物体的动能

\[ W = \int_L \vec{F} \cdot \d{\vec{r}} \ \ \text{或} \ \int_L F_\mr{t} \,\d{s} \tag{1} \label{eq:work} \]

\(\displaystyle F_\mr{t} = \big|\vec{F} \tm\big| \cos\theta\)

式 \(\eqref{eq:work}\) 的计算：化为对参数 \(t\) 的积分

\[ \begin{gather} \int_L \vec{F} \cdot \d{\vec{r}} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F} \cdot \frac{\d{\vec{r}}}{\d{t}} \,\d{t} \\ \int_L F_\mr{t} \,\d{s} = \int_{t_1}^{t_2} F_\mr{t} \frac{\d{s}}{\d{t}} \,\d{t} \end{gather} \]

动能定理¶

动能：物体因运动而具有的能量，\(\displaystyle E_\mr{k} = \frac{1}{2} m v^2\)

单个质点动能定理：合力对质点所作的功等于质点动能的变化

\[ W = E_{\mr{k},2} - E_{\mr{k},1} = \frac{1}{2} m v_2^2 - \frac{1}{2} m v_1^2 \]

质点系动能定理：内部作用力与外部作用力做功之和等于质点系动能的变化

\[ W^\mr{ex} + W^\mr{in} = E_{\mr{k},2} - E_{\mr{k},1} \]

\(W^\mr{in}\, \rb{W^\mr{ex}}\)：所有内（外）力做功
\(E_{\mr{k},1}\, \rb{E_{\mr{k},2}}\)：质点系初始（末了）状态总动能

保守力和势能¶

保守力¶

做功与路径无关的力

特性：

做功的多少仅取决于始末位置，与所经过的路径无关

\[ \int_{L_1} \vec{F} \cdot \d{\vec{r}} = \int_{L_2} \vec{F} \cdot \d{\vec{r}} \]
每个保守力都对应着一个势能，做功等于势能的减少

\[ W = - \rb{E_{\mr{p},2} - E_{\mr{p},1}} \]
沿着任意闭合路径运动一周，保守力做功为零

\[ \oint_L \vec{F} \cdot \d{\vec{r}} = 0 \]

势能¶

又称为“位能”，是物体由于其位置、构型和状态等而具有的能量，用 \(E_\mr{p}\) 表示

与保守力做功的关系：保守力所做的功等于负的势能变化量

保守力做正功时势能减小，做负功时势能增大

\[ W = - \dt{E_\mr{p}} = - \rb{E_{\mr{p},2} - E_{\mr{p},1}} \]

特性：

势能的大小依赖于所选的零势能位置
与系统中的保守力相关

已知势能求保守力：保守力为对应势能函数的负梯度

\[ \vec{F} = - \nabla E_\mr{p} \]

常见的保守力和势能¶

（弹簧）弹性力和弹性势能，平衡位置（\(x=0\)）为零势能位置

\[ F = - k \tm x ,\ E_\mr{p} = \frac{1}{2} k \tm x^2 \]
万有引力和引力势能，无穷远处（\(r\to\infty\)）为零势能位置

\[ \vec{F} = - G \frac{m_1 m_2}{r^2} \vec{e}_r ,\ E_\mr{p} = - \frac{G m_1 m_2}{r} \]
重力和重力势能，地面附近任一水平面为零势能位置

\[ \vec{P} = - mg \,\vec{j} ,\ E_\mr{p} = m g \tm y \]

机械能和功能原理¶

机械能¶

宏观物体的动能和势能的代数和，\(E = E_\mr{k} + E_\mr{p}\)

功能原理¶

机械能的变化量等于外力做功与非保守内力做功的代数之和

\[ W^\mr{ex} + W^\mr{in}_\mr{nc} = E_2 - E_1 \]

机械能守恒：系统的总机械能保持恒定，外力和非保守内力均不做功，\(E = E_0\)

质心和质心运动定律¶

质心¶

系统的质量中心，系统质量分布的加权平均位置

离散质点系中的质心：

\[ \vec{r}_\mr{c} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^N m_i \tm \vec{r}_i,\ M = \sum_{i=1}^N m_i \]

连续质量分布中的质心：

\[ \vec{r}_\mr{c} = \frac{1}{M} \int_{V} \rho\rb{\vec{r}\tm} \tm \vec{r} \,\d{v},\ M = \int_{V} \rho\rb{\vec{r}\tm} \,\d{v} \]

质心运动定律¶

系统总动量 \(\vec{P}\) 等于总质量 \(M\) 乘以质心速度 \(\vec{v}_\mr{c}\)

\[ \vec{P} = M \vec{v}_\mr{c},\ \vec{v}_\mr{c} = \frac{\d{\vec{r}_\mr{c}}}{\d{t}} \]
系统的合外力 \(\vec{F}^\mr{ex}\) 等于总质量 \(M\) 乘以质心加速度

\[ \vec{F}^\mr{ex} = M \vec{a}_\mr{c},\ \vec{a}_\mr{c} = \frac{\d{\vec{v}_c}}{\d{t}} \]