质心和质心运动定律
质心¶
质心可以理解为系统（由多个质点或连续分布的质量组成）的质量中心，是该系统质量分布的加权平均位置
离散质点系中的质心¶
对于由 \(N\) 个质点组成的系统，记第 \(i\) 个质点质量为 \(m_i\)、位置矢量为 \(\vec{r}_i\)，则质心位置矢量
\[
\vec{r}_\mr{c} = {1 \over M} \sum_{i=1}^N m_i \vec{r}_i
\tag{1} \label{eq:center-of-mass-discrete}
\]
其中，\(\displaystyle M = \sum_{i=1}^N m_i\) 为质点系的总质量
连续质量分布中的质心¶
对于分布在区域 \(V\) 中的密度为 \(\rho\big(\vec{r}\tm\big)\) 的连续物体，其质心的位置矢量
\[
\vec{r}_\mr{c} = {1 \over M} \int_V \rho\big(\vec{r}\tm\big) \tm \vec{r} \,\d{v}
\]
其中，\(\displaystyle M = \int_V \rho\big(\vec{r}\tm\big)\,\d{v}\) 为物体的总质量
质心运动定律¶
质心运动定律是将多质点系统的动力学问题简化为质心这一假想质点运动的基本法则
-
系统的总动量 \(\vec{P}\)，等于总质量 \(M\) 乘以质心的速度 \(\vec{v}_\mr{c}\)，即
\[ \vec{P} = M \vec{v}_\mr{c} \tag{2} \label{eq:center-of-mass-momentum} \]
由离散质点系质心的定义式 \(\eqref{eq:center-of-mass-discrete}\) 可知
\[
\begin{align}
\frac{\mr{d}}{\d{t}} \rb{M \vec{r}_c}
= \frac{\mr{d}}{\d{t}} \rb{\sum_{i=1}^N m_i \vec{r}_i}
= \sum_{i=1}^N m_i \frac{\d{\vec{r}_i}}{\d{t}}
= \sum_{i=1}^N m_i \vec{v}_i
= \sum_{i=1}^N \vec{p}_i
= \vec{P}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
& \frac{\mr{d}}{\d{t}} \rb{M \vec{r}_c}
= \frac{\mr{d}}{\d{t}} \rb{\sum_{i=1}^N m_i \vec{r}_i}
= \sum_{i=1}^N m_i \frac{\d{\vec{r}_i}}{\d{t}} \\
& = \sum_{i=1}^N m_i \vec{v}_i
= \sum_{i=1}^N \vec{p}_i
= \vec{P}
\end{align}
\]
其中，\(\vec{v}_i\) 和 \(\vec{p}_i\) 分别为第 \(i\) 个质点的速度和动量
-
作用在一个系统上的合外力 \(\vec{F}^\mr{ex}\)，等于该系统的总质量 \(M\) 乘以质心的加速度 \(\vec{a}_\mr{c}\)，即
\[ \vec{F}^\mr{ex} = M \vec{a}_\mr{c} \]
式 \(\eqref{eq:center-of-mass-momentum}\) 的两边分别对时间 \(t\) 求导，根据质点系动量定理的微分形式
\[
\frac{\d{P}}{\d{t}} = \vec{F}^\mr{ex} ,\
\frac{\mr{d}}{\d{t}} \rb{M \vec{v}_\mr{c}} = M \frac{\d{\vec{v}_\mr{c}}}{\d{t}}
= M \vec{a}_\mr{c}
\]
因此，\(\displaystyle \vec{F}^\mr{ex} = M \vec{a}_\mr{c}\)