势能

势能 (Potential energy)，又称为“位能”，是物体由于其位置、构型和状态等而具有的能量

势能是一种存储能量，在适当条件下可以转化为其他形式的能量（例如重力势能转化为动能）

势能是一个标量，通常用 \(E_\mr{p}\) 表示

与保守力做功的关系¶

保守力所做的功等于负的势能变化量，即保守力做正功时势能减小，做负功时势能增大

公式表述¶

\[ W = - \dt{E}_\mr{p} = - \rb{E_{\mr{p}2} - E_{\mr{p}1}} \tag{1} \label{eq1} \]

其中，\(W\) 表示保守力所做的功，\(\dt{E}_\mr{p}\) 为势能的变化量，\(E_{\mr{p}1}\) 和 \(E_{\mr{p}2}\) 分别为初态势能和末态势能

特点和性质¶

相对性：势能的大小是相对的，依赖于所选的零势能位置

零势能位置是人为选定的参考点，在该位置上物体的势能被定义为零
与系统中的保守力相关：势能是由系统内各物体之间的保守力产生的，单独讨论某个物体的势能没有实际意义

常见的势能¶

弹性势能¶

弹性势能指物体因发生弹性形变而储存的能量

理想弹簧在发生形变后，其弹性势能具有以下特点

大小与形变量的平方成正比，比例系数 \(k\) 为弹簧的劲度系数
通常将弹簧处于自然长度（即无形变）时的势能定义为零

弹性势能的公式为

\[ E_\mr{p} = \frac{1}{2} k x^2 \]

其中，\(x\) 为弹簧的弹性形变量，\(x>0\) 和 \(x<0\) 分别表示弹簧被拉伸和压缩

弹簧弹性势能的推导

如图所示，弹簧的弹性力 \(\displaystyle F = - k x\)，当将弹簧的可移动端从平衡位置 \(x=0\) 移至位置 \(x\) 时，弹性力所做的功

\[ W = \int_{0}^{x} - k x \,\d{x} = - \frac{1}{2} k x^2 \]

根据势能定义 \(W = - \dt{E}_\mr{p} = - \sb{E_{\mr{p}}(x) - E_{\mr{p}}(0)}\)，取平衡位置为零势能点（即 \(E_\mr{p}(0) = 0\tm\)），可得

\[ E_\mr{p}(x) = \frac{1}{2} k x^2 \]

引力势能¶

引力势能描述两个或多个具有质量的物体因相互引力而储存的能量

对于质量分别为 \(m_1\) 和 \(m_2\)、相距为 \(r\) 的质点（以无穷远处为零势能位置），引力势能为

\[ E_\mr{p} = -G \frac{m_1 m_2}{r} \tag{2} \label{eq:gravPotenEner} \]

引力势能的推导

如图所示，质量为 \(m_2\) 的质点位置矢量为 \(\vec{r}\)，受到来自原点处质量为 \(m_1\) 质点的引力

\[ \vec{F} = - \frac{G m_1 m_2}{r^3} \vec{r} \]

其中，\(r = \abs{\vec{r}\tm}\)，将质量为 \(m_2\) 的质点从位置 \(\vec{r}\) 移至无穷远处时，引力所做的功为

\[ \begin{align} W &= \int_L \vec{F} \cdot \d{\vec{r}} = \int_L -G \frac{ m_1 m_2}{r^3} \vec{r} \cdot \d{\vec{r}} = - G m_1 m_2 \int_L \frac{\vec{r}}{r^3} \cdot \d{\vec{r}} \\ &= - G m_1 m_2 \int_r^\infty \frac{1}{r^2} \d{r} = \left. \frac{G m_1 m_2}{r} \right|_r^\infty = - \frac{G m_1 m_2}{r} \end{align} \]

\[ \begin{align} W &= \int_L \vec{F} \cdot \d{\vec{r}} = \int_L -G \frac{ m_1 m_2}{r^3} \vec{r} \cdot \d{\vec{r}} \\ &= - G m_1 m_2 \int_L \frac{\vec{r}}{r^3} \cdot \d{\vec{r}} \\ &= - G m_1 m_2 \int_r^\infty \frac{1}{r^2} \d{r} = \left. \frac{G m_1 m_2}{r} \right|_r^\infty \\ &= - \frac{G m_1 m_2}{r} \end{align} \]

根据势能的定义

\[ W = - \sb{E_\mr{p}(\infty) - E_\mr{p}(r)} \]

其中，\(E_\mr{p}(\infty)\) 和 \(E_\mr{p}(r)\) 分别为无穷远处和距离为 \(r\) 处的引力势能；取无穷远处为零势能位置，\(E_\mr{p}(\infty) = 0\)，有

\[ E_\mr{p}(r) = - G \frac{m_1 m_2}{r} \]

重力势能¶

重力势能描述物体在地球或其他天体（后面简称为“地球”）的重力场中因位置而储存的能量

在地球表面附近，重力加速度 \(g\) 可视为常量

对于质量为 \(m\)、相对于参考水平面具有有向高度 \(y\) 的物体，其重力势能为

\[ E_\mr{p} = m g \tm y \]

重力势能的推导

重力势能可以看作是引力势能在地球表面附近的近似表达

如图所示，质量为 \(m\) 的物体在地球表面附近，相对于地面（参考水平面）的高度为 \(y\)。设地球质量为 \(M\)，半径为 \(R\)，将物体从地面上升至高度 \(y\) 时，引力所做的功为

\[ W = - \rb{-G \frac{M m}{R+y} + G \frac{M m}{R}} = - \frac{G M m}{R} \rb{-\frac{1}{1 + y/R} + 1} \]

\[ \begin{align} W &= - \rb{-G \frac{M m}{R+y} + G \frac{M m}{R}} \\ &= - \frac{G M m}{R} \rb{-\frac{1}{1 + y/R} + 1} \end{align} \]

上式中，当 \(\displaystyle \abs{y \over R} < 1\) 时，展开得

\[ \frac{1}{1+y/R} = 1 - \rb{y \over R} + \rb{y \over R}^2 - \cdots \]

由于 \(y \ll R\)，保留到 \(\dfrac{y}{R}\) 的一阶近似已及足够精确；此时，\(\displaystyle W = - G \frac{M m}{R^2} y\)；考虑到 \(\displaystyle G \frac{M m}{R^2} = mg\)，有

\[ W = -mg \tm y = -\sb{E_\mr{p}(y) - E_\mr{p}(0)} \]

其中，\(E_\mr{p}(y)\) 和 \(E_\mr{p}(0)\) 分别为物体在高度 \(y\) 处和地面上的重力势能。当取地面为零势能位置时 (\(E_\mr{p}(0) = 0\tm\))，有

\[ E_\mr{p}(y) = -W = mg \tm y \]

保守力与势能的关系¶

给定势能函数，可以求出保守力，其表达式为势能函数的负梯度，公式表述为

\[ \vec{F} = - \nabla E_\mr{p} \tag{4} \label{eq:consForceFromPoten} \]

其中，\(\vec{F}\) 和 \(E_\mr{p}\) 分别为保守力和对应的势能，\(\nabla\) 是梯度的算符，在三维的直角坐标系中

\[ \nabla E_\mr{p} = \frac{\partial E_\mr{p}}{\partial x}\,\vec{i} + \frac{\partial E_\mr{p}}{\partial y}\,\vec{j} + \frac{\partial E_\mr{p}}{\partial z}\,\vec{k} \]

特别地，当物体的运动轨迹为直线时，不妨设在 \(x\) 轴上运动，上式则简化为

\[ \vec{F} = - \frac{\d{E_\mr{p}}}{\d{x}} \,\vec{i} \]

关系式 \(\eqref{eq:consForceFromPoten}\) 的推导

设作用于物体的力 \(\vec{F}\) 为保守力，对应的势能函数为 \(E_\mr{p}(\vec{r}\tm)\)。当物体沿着路径 \(L\) 移动时，力 \(\vec{F}\) 所做的功为

\[ W = \int_L \vec{F} \cdot \d{\vec{r}} = \int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2} \vec{F} \cdot \d{\vec{r}} \]

其中，\(\vec{r}_1\) 和 \(\vec{r}_2\) 分别为路径 \(L\) 的起点和终点

根据势能的定义，有

\[ W = - \sb{ E_\mr{p}(\vec{r}_2) - E_\mr{p}(\vec{r}_1) } \]

又因为

\[ \begin{align} E_\mr{p}(\vec{r}_2) - E_\mr{p}(\vec{r}_1) = \int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2} \d{E_\mr{p}(\vec{r}\tm)} \end{align} \]

设 \(\vec{r}\) 是参数 \(t\) 的函数，\(t_1\) 和 \(t_2\) 分别对应位置 \(\vec{r}_1\) 和 \(\vec{r}_2\)，此时的函数关系为 \(E_\mr{p}\sb{x(t),y(t),z(t)}\)，上式可继续写为

\[ \begin{align} & \int_{t_1}^{t_2} \frac{\d{E_\mr{p}(\vec{r}\tm)}}{\d{t}} \,\d{t} = \int_{t_1}^{t_2} \rb{ \frac{\partial E_\mr{p}}{\partial x} \frac{\d{x}}{\d{t}} + \frac{\partial E_\mr{p}}{\partial y} \frac{\d{y}}{\d{t}} + \frac{\partial E_\mr{p}}{\partial z} \frac{\d{z}}{\d{t}} } \,\d{t} \\ &= \int_{t_1}^{t_2} \rb{ \frac{\partial E_\mr{p}}{\partial x} \,\vec{i} + \frac{\partial E_\mr{p}}{\partial y} \,\vec{j} + \frac{\partial E_\mr{p}}{\partial z} \,\vec{k} } \cdot \rb{ \frac{\d{x}}{\d{t}} \,\vec{i} + \frac{\d{y}}{\d{t}} \,\vec{j} + \frac{\d{z}}{\d{t}} \,\vec{k} } \,\d{t} \\ &= \int_{t_1}^{t_2} \nabla E_\mr{p} \cdot \frac{\d{\vec{r}}}{\d{t}} \,\d{t} = \int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2} \nabla E_\mr{p} \cdot \d{\vec{r}} \end{align} \]

\[ \begin{align} & \int_{t_1}^{t_2} \frac{\d{E_\mr{p}(\vec{r}\tm)}}{\d{t}} \,\d{t} \\ &= \int_{t_1}^{t_2} \rb{ \frac{\partial E_\mr{p}}{\partial x} \frac{\d{x}}{\d{t}} + \frac{\partial E_\mr{p}}{\partial y} \frac{\d{y}}{\d{t}} + \frac{\partial E_\mr{p}}{\partial z} \frac{\d{z}}{\d{t}} } \,\d{t} \\ &= \int_{t_1}^{t_2} \rb{ \frac{\partial E_\mr{p}}{\partial x} \,\vec{i} + \frac{\partial E_\mr{p}}{\partial y} \,\vec{j} + \frac{\partial E_\mr{p}}{\partial z} \,\vec{k} } \\ & \cdot \rb{ \frac{\d{x}}{\d{t}} \,\vec{i} + \frac{\d{y}}{\d{t}} \,\vec{j} + \frac{\d{z}}{\d{t}} \,\vec{k} } \,\d{t} \\ &= \int_{t_1}^{t_2} \nabla E_\mr{p} \cdot \frac{\d{\vec{r}}}{\d{t}} \,\d{t} = \int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2} \nabla E_\mr{p} \cdot \d{\vec{r}} \end{align} \]

因此

\[ \int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2} \vec{F} \cdot \d{\vec{r}} = - \int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2} \nabla E_\mr{p} \cdot \d{\vec{r}} \ \Rightarrow\ \int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2} \rb{\vec{F} + \nabla E_\mr{p}} \cdot \d{\vec{r}} = 0 \]

\[ \begin{align} & \int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2} \vec{F} \cdot \d{\vec{r}} = - \int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2} \nabla E_\mr{p} \cdot \d{\vec{r}} \\ & \Rightarrow\ \int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2} \rb{\vec{F} + \nabla E_\mr{p}} \cdot \d{\vec{r}} = 0 \end{align} \]

由于上式对于任意的 \(\vec{r}_1\) 和 \(\vec{r}_2\) 都成立，因此必须有 \(\displaystyle \vec{F} = - \nabla E_\mr{p}\)