冲量和动量定理

冲量

冲量（Impulse）是一个描述力对时间的累积效应的物理量

冲量是一个矢量，习惯上用 \(\vec{I}\) 表示，它的国际标准单位为 牛顿 \(\cdot\) 秒（\(\mr{N \cdot s}\)）

冲量是一个过程量，由作用力和时间两个因素决定；合力冲量的作用效果为改变物体的动量

公式表述

作用力 \(\vec{F}\) 是时间 \(t\) 的函数，当时间 \(t\) 从 \(t_1\) 到 \(t_2\) 的过程中，冲量

\[ \vec{I} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F}(t) \,\d{t} \label{eq1} \tag{1} \]

在直角坐标系中，若 \(\vec{F} = F_x(t) \,\vec{i} + F_y(t) \,\vec{j} + F_z(t)\,\vec{k}\)，根据矢量对参数求积分的运算规则，矢量 \(\vec{I}\) 可表示为如下的形式

\[ \vec{I} = I_x \,\vec{i} + I_y \,\vec{j} + I_z \,\vec{k} \]

其中，

\[ I_x = \int_{t_1}^{t_2} F_x(t) \,\d{t},\ I_y = \int_{t_1}^{t_2} F_y(t) \,\d{t},\ I_z = \int_{t_1}^{t_2} F_z(t) \,\d{t} \]

\[ \begin{align} I_x &= \int_{t_1}^{t_2} F_x(t) \,\d{t} \\ I_y &= \int_{t_1}^{t_2} F_y(t) \,\d{t} \\ I_z &= \int_{t_1}^{t_2} F_z(t) \,\d{t} \end{align} \]

动量定理

单个质点动量定理

质点所受合力的冲量，等于该质点动量的变化量。用公式表述为

\[ \vec{I} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F}(t) \,\d{t} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1 \tag{2} \label{eq2} \]

其中，\(\vec{I}\) 为合力的冲量；\(\vec{F}\) 为质点所受的合力，\(\displaystyle \vec{F} = \sum_i \vec{F}_i\)；\(\vec{p}_1\) 和 \(\vec{p}_2\) 分别为 \(t_1\) 和 \(t_2\) 时刻质点的动量

根据牛顿定律，质点受到的合力 \(\vec{F} = \dfrac{\d{\vec{p}}}{\d{t}}\)，代入式 \(\eqref{eq1}\) 中

\[ \vec{I} = \int_{t_1}^{t_2} \frac{\d{\vec{p}}}{\d{t}} \,\d{t} = \vec{p}\tm(t_2) - \vec{p}\tm(t_1) \]

其中，\(\vec{p}\tm(t_1)\) 和 \(\vec{p}\tm(t_2)\) 分别对应 \(\vec{p}_1\) 和 \(\vec{p}_2\)

质点系动量定理

质点系所受外部作用力（外力）合力的冲量，等于质点系总动量的变化量。用公式表述为

\[ \vec{I} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F}^{\mr{ex}} \,\d{t} = \vec{P}_2 - \vec{P}_1 \label{eq3} \tag{3} \]

其中，\(\displaystyle \vec{F}^\mr{ex} = \sum_i \vec{F}_i^\mr{ex}\) 为外力的合力，\(\vec{P}_1\) 和 \(\vec{P}_2\) 分别为系统在 \(t_1\) 和 \(t_2\) 时刻的总动量

推导过程见质点系动量定理推导

两类动量定理之间的关联

单个质点的动量定理可以看作质点系动量定理的特殊情况，即该质点系只包含一个质点

动量守恒

动量守恒是指系统的总动量保持恒定，这就要求系统所受外力的合力为零

反过来，外力的合力为零必然导致系统的动量守恒

公式表述

\[ \vec{P} = \vec{P}_0 \ \Leftrightarrow \ \vec{F}^\mr{ex} = \vec{0} \]

其中，系统在 \(t_0\) 时刻的总动量为 \(\vec{P}_0\)，在其后的任意时刻 \(t\) 的总动量为 \(\vec{P}\)

关于 \(t\) 时刻任意性的说明

根据质点系动量定理 \(\eqref{eq3}\)

\[ \vec{P} - \vec{P}_0 = \int_{t_0}^t \vec{F}^\mr{ex} \,\d{t} \]

• 当 \(\vec{F}^\mr{ex} = \vec{0}\) 时，\(\displaystyle \int_{t_0}^t \vec{F}^\mr{ex} \,\d{t} = \vec{0} = \vec{P} - \vec{P}_0 = \vec{0}\)，即 \(\vec{P} = \vec{P}_0\)
• 当 \(\vec{P} = \vec{P}_0\)，且 \(t\) 为任意值时，即要求积分 \(\displaystyle \int_{t_0}^t \vec{F}^\mr{ex} \,\d{t} = 0\) 对于任意的积分上限 \(t\) 均成立，这就要求 \(\vec{F}^\mr{ex}\) 必须为 \(\vec{0}\)

动量守恒指的是系统中各部分的动量之和保持恒定，并不意味着系统当中的每一部分的动量均保持不变