做功和动能定理

做功

功（Work）是一个描述力对空间的累积效应的物理量

功是标量，习惯上用 \(W\) 表示，其国际标准单位为 焦（\(\mr{J}\)）

功是一个过程量，由作用力和运动路径两个因素决定；合力做功的效果为改变物体的动能

公式表述

若作用力 \(\vec{F}\) 随位置变化，则在质点沿路径 \(L\) 运动的过程中，做功可写成下列两种等价的形式

\[ \begin{align} W &= \int_L \vec{F} \cdot \d{\vec{r}} \ (\text{对坐标的曲线积分}) \\ W &= \int_L F_\mr{t} \,\d{s} \ (\text{对弧长的曲线积分}) \end{align} \tag{1} \label{eq1} \]

其中，\(\d{\vec{r}}\) 为位移微元，\(\vec{F}\) 与 \(\d{\vec{r}}\) 之间的夹角为 \(\theta\)， \(F_\mr{t}\) 为 \(\vec{F}\) 的切向分量（\(F_\mr{t} = \big| \vec{F} \mkern{2mu} \big| \cos\theta\tm\)），\(\d{s}\) 为路程微元

公式 \(\eqref{eq1}\) 的推导见 附录 \(\blacktriangleright\) 做功公式的推导

做功的计算

公式 \(\eqref{eq1}\) 的曲线积分可转化为对参数的积分，通常选用时间 \(t\) 作为积分参数

• 对坐标积分形式的变换：

  \[ W = \int_L \vec{F} \cdot \d{\vec{r}} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F} \cdot \frac{\d{\vec{r}}}{\d{t}} \,\d{t} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F} \cdot \vec{v} \,\d{t} \]

  \[ \begin{align} W &= \int_L \vec{F} \cdot \d{\vec{r}} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F} \cdot \frac{\d{\vec{r}}}{\d{t}} \,\d{t} \\ &= \int_{t_1}^{t_2} \vec{F} \cdot \vec{v} \,\d{t} \end{align} \]

  其中，\(\vec{v}\) 为质点的速度

• 对弧长积分形式的变换：

  \[ W = \int_L F_\mr{t} \,\d{s} = \int_{t_1}^{t_2} F_\mr{t} \frac{\d{s}}{\d{t}} \,\d{t} = \int_{t_1}^{t_2} F_\mr{t} \tm v \,\d{t} \]

  \[ \begin{align} W &= \int_L F_\mr{t} \,\d{s} = \int_{t_1}^{t_2} F_\mr{t} \frac{\d{s}}{\d{t}} \,\d{t} \\ &= \int_{t_1}^{t_2} F_\mr{t} \tm v \,\d{t} \end{align} \]

  其中，\(v\) 为质点的速率

变力沿直线做功

若质点的运动和所受合力 \(\vec{F}\) 限制在同一条直线上（如沿 \(x\) 轴运动），则方程 \(\eqref{eq1}\) 简化为

\[ W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) \,\d{x} \]

其中，\(x_1\) 和 \(x_2\) 分别为运动的起始和终了位置

动能定理

动能定理描述了做功与动能变化之间的关系，可分为单个质点动能定理和质点系动能定理

动能

动能是物体因运动而具有的能量，是一个非负的标量

经典力学中，动能是状态量，常用 \(E_\mr{k}\) 表示（下标 \(\mr{k}\) 代表 kinetic），其大小取决于物体的质量 \(m\) 和速率 \(v\)，表达式为

\[ E_\mr{k} = \frac{1}{2} m v^2 \]

单个质点动能定理

合力对质点所作的功等于质点动能的变化，其公式表述为

\[ W = E_{\mr{k},2} - E_{\mr{k},1} = \frac{1}{2} m v_2^2 - \frac{1}{2} m v_1^2 \tag{2} \label{eq2} \]

\[ \begin{align} W &= E_{\mr{k},2} - E_{\mr{k},1} \\ &= \frac{1}{2} m v_2^2 - \frac{1}{2} m v_1^2 \tag{2} \label{eq2_small} \end{align} \]

其中，\(W\) 为合力做功，\(E_{\mr{k},1}\) 和 \(E_{\mr{k},2}\) 分别为初始和最终时刻的动能，\(v_1\) 和 \(v_2\) 为相应的速率

公式 \(\eqref{eq2}\)\(\eqref{eq2_small}\) 的推导见 单个质点动能定理推导

质点系动能定理

质点系动能的变化等于内部作用力与外部作用力做功之和，其公式表述为

\[ W^{\mr{ex}} + W^\mr{in} = E_{\mr{k},2} - E_{\mr{k},1} \tag{3} \label{eq3} \]

其中

• \(\displaystyle W^\mr{in} = \sum_{i=1}^N W_i^\mr{in}\) 为内部作用力做功，\(\displaystyle W^\mr{ex} = \sum_{i=1}^N W_i^\mr{ex}\) 为外部作用力做功
• \(\displaystyle E_{\mr{k},1} = \sum_{i=1}^N E_{\mr{k}i,1}\) 为初始时刻质点系动能，\(\displaystyle E_{\mr{k},2} = \sum_{i=1}^N E_{\mr{k}i,2}\) 为最终时刻质点系动能

（求和 \(\displaystyle \sum_{i=1}^N\) 表示对所有质点求和）

公式 \(\eqref{eq3}\) 的推导见 质点系动能定理推导