保守力和非保守力

保守力

保守力 (Conservative force) 又称为“守恒力”，是做功与路径无关的力

在保守力的作用下，物体从起始位置移动到末了位置，力所作的功仅取决于始末位置，而与所经过的路径无关

特点和性质

• 功与路径无关：保守力做功的多少只与起始和终止的位置有关，而与选择沿哪条路径移动无关
• 存在对应的势能：每个保守力都对应着一个势能 (Potential) 函数。保守力所作的功可以完全转化为势能的变化，反之亦然，如重力势能和弹性势能

• 闭合路径做功为零：当物体在保守力的作用下，沿着任意闭合路径运动一周后回到出发点，保守力所作的总功必然为零

常见的保守力

重力、弹力、静电力、万有引力

静电场的电场力是保守力，而感生电场的电场力通常不是保守力

两种等价的数学表述

左：保守力做功与路径无关；右：保守力沿闭合回路做功为零

1. 做功只与始末位置有关

   如左图所示，将质点从点 \(A\) 移动到点 \(B\)，不论选择路径 \(L_1\) 或 \(L_2\)，作用力 \(\vec{F}\) 所作的功分别为

   \[ W_1 = \int_{L_1} \vec{F} \cdot \d{\vec{r}} \quad \text{和}\quad W_2 = \int_{L_2} \vec{F} \cdot \d{\vec{r}} \]

   如果 \(W_1 = W_2\)，则 \(\vec{F}\) 为保守力；反之，如果 \(\vec{F}\) 为保守力，则 \(W_1\) 和 \(W_2\) 必然相等

2. 闭合路径做功为零

   如右图所示，若质点从点 \(A\) 出发沿任意闭合路径 \(L\) 运动一周后回到起点，力 \(\vec{F}\) 做功

   \[ W = \oint_L \vec{F} \cdot \d{\vec{r}} \]

   如果 \(W = 0\)，则 \(\vec{F}\) 为保守力；反之，如果 \(\vec{F}\) 为保守力，则 \(W\) 必为零

非保守力

非保守力 (Non-Conservative Force) 又称为“耗散力”，是指做功与路径有关的力

在非保守力的作用下，物体从起始位置移动到末了位置，力所作的功不仅取决于始末位置，还与实际经过的路径有关

特点和性质

• 路径依赖性：非保守力所做的功与物体运动的具体路径密切相关。例如，摩擦力在不同路径上所做的功会有所不同
• 能量耗散：非保守力通常会导致系统机械能转化为其他形式的能量（如热能、声能），因此系统的总机械能不守恒
• 闭合路径做功不为零：当物体在非保守力场中沿闭合路径运动一周后返回起点，所做的总功通常不为零

常见的非保守力

摩擦力、流体中的阻力