通量

通量（Flux），也称为“流束”，用来描述某个具有类似流动性或传播性的物理量（通常用矢量表示）通过一个特定表面的总量

匀强矢量场对平面面元的通量

如下图所示，平面 \(\Sigma\) 上有一个面积为 \(S\) 的面元，匀强矢量场 \(\vec{a}\) 通过 \(S\)

匀强矢量场的对平面面元的通量

1. 在图 \((a)\) 中，\(\vec{a}\) 垂直于 \(\Sigma\)，且取 \(\Sigma\) 法向矢量的正方向为垂直 \(S\) 向上（与 \(\vec{a}\) 一致），则 \(\vec{a}\) 对面元 \(S\) 的通量

   \[ \Phi = S \tm a \tag{1}\label{eq:flux1} \]

   其中，\(a\) 为 \(\vec{a}\) 的大小，通量 \(\Phi\) 在数值上等于以面元 \(S\) 为底面，以 \(a\) 为高的直柱体的体积

2. 在图 \((b)\) 中，\(\vec{a}\) 与 \(\Sigma\) 的法向量 \(\vec{n}\) 的夹角为 \(\theta\)，仿照前一种情况的定义，此时的通量 \(\Phi\) 等于以面元 \(S\) 为底面，以沿着 \(\vec{a}\) 方向沿伸的斜柱体的体积

   \[ \Phi = S \tm a \cos \theta \tag{2}\label{eq:flux2} \]

   其中，\(a \cos\theta\) 为斜柱体的高

公式 \(\eqref{eq:flux2}\) 更具有一般性（当 \(\theta = 0\) 时的结果就是式 \(\eqref{eq:flux1}\)）。考虑到矢量标量积的定义，匀强矢量场对平面面元的通量可写为

\[ \Phi = \vec{S} \cdot \vec{a} \tag{3}\label{eq:flux3} \]

其中，\(\vec{S} = S \tm \vec{n}\)，为面元 \(S\) 的有向面积

一般矢量场对曲面的通量

如下图所示，非均匀的矢量场 \(\vec{a}\) 通过曲面 \(S\)，在 \(S\) 上不同的位置，\(\vec{a}\) 的大小和方向均不恒定

一般矢量场对曲面的通量

在计算 \(\vec{a}\) 对曲面 \(S\) 的通量时，可以将 \(S\) 划分为 \(N\) 个面元，其中，第 \(i\) 个面元的面积为 \(\dt{s}_i\)。在该面元中任意一点的法向量为 \(\vec{n}_i\)，矢量场为 \(\vec{a}_i\)

当 \(\dt{s}_i\) 很小时，面元可近似看作平面面元；\(\vec{a}\) 在其区域内的变化甚微，可以视为匀强矢量场。根据式 \(\eqref{eq:flux3}\)，\(\vec{a}\) 对面元 \(\dt{s}_i\) 的通量

\[ \dt{\Phi}_i \approx \dt{\vec{s}}_i \cdot \vec{a}_i \]

其中，\(\dt{\vec{s}}_i = \dt{s}_i \tm \vec{n}_i\) 为第 \(i\) 个面元的有向面积

因此，矢量场 \(\vec{a}\) 对曲面 \(S\) 的总的通量为对各面元的通量之和，再取 \(\dt{s}_i \to 0\) 的极限，即

\[ \Phi = \lim_{\dt{s}_i \to 0} \sum_{i=1}^N \dt{\Phi}_i = \lim_{\dt{s}_i \to 0} \sum_{i=1}^N \dt{\vec{s}}_i \cdot \vec{a}_i \]

根据积分的定义，上式可以写为下列对坐标的曲面积分的形式¹

\[ \Phi = \int_S \vec{a} \cdot \d{\vec{s}} \]

积分区域为整个曲面 \(S\)。计算出这个曲面积分，就得到了矢量场 \(\vec{a}\) 对曲面 \(S\) 的通量

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1. 对公式作如下变化：\(\displaystyle \lim_{\dt{s}_i \to 0} \to \int_S, \ \vec{a}_i \to \vec{a}, \ \dt{s}_i \to \d{s}\) ↩