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矢量对参数求导和积分

矢量对参数求导

与函数求导类似,矢量对参数求导反映了矢量随某个变量(参数)变化的趋势

如图所示,矢量 \(\vec{a}\) 是参数 \(u\) 的函数,\(\vec{a}\) 关于 \(u\) 的导数可写为:

矢量 \(\vec{a}\) 关于参数 \(u\) 的变化
\[ \frac{\d{\vec{a}(u)}}{\d{u}} = \lim_{\dt{u} \to 0} \frac{\dt{\vec{a}}}{\dt{u}} = \lim_{\dt{u} \to 0} \frac{\vec{a}(u + \dt{u}) - \vec{a}(u)}{\dt{u}} \tag{1} \label{eq1} \]
\[ \begin{align} &\frac{\d{\vec{a}(u)}}{\d{u}} = \lim_{\dt{u} \to 0} \frac{\dt{\vec{a}}}{\dt{u}} \\ &= \lim_{\dt{u} \to 0} \frac{\vec{a}(u + \dt{u}) - \vec{a}(u)}{\dt{u}} \tag{1} \end{align} \]

直角坐标系中的计算

在直角坐标系中,矢量

\[ \vec{a}(u) = a_x(u) \,\vec{i} + a_y(u) \,\vec{j} + a_z(u) \,\vec{k} \tag{2} \label{eq2} \]

其对某个参数的求导,只要将每个直角分量分别对该参数求导

\[ \frac{\d{\vec{a}(u)}}{\d{u}} = \frac{\d{a_x}}{\d{u}} \,\vec{i} + \frac{\d{a_y}}{\d{u}} \,\vec{j} + \frac{\d{a_z}}{\d{u}} \,\vec{k} \tag{3} \label{eq3} \]

将式 \(\eqref{eq2}\) 代入式 \(\eqref{eq1}\) 中,

\[ \begin{align} & \lim_{\dt{u} \to 0} \frac{\vec{a}(u + \dt{u}) - \vec{a}(u)}{\dt{u}} = \lim_{\dt{u} \to 0} \frac{a_x(u+\dt{u}) - a_x(u)}{\dt{u}} \,\vec{i} \\ &+ \lim_{\dt{u} \to 0} \frac{a_y(u+\dt{u}) - a_y(u)}{\dt{u}} \,\vec{j} + \lim_{\dt{u} \to 0} \frac{a_z(u+\dt{u}) - a_z(u)}{\dt{u}} \,\vec{k} \end{align} \]

\[ \begin{align} & \lim_{\dt{u} \to 0} \frac{\vec{a}(u + \dt{u}) - \vec{a}(u)}{\dt{u}} \\ &= \lim_{\dt{u} \to 0} \frac{a_x(u+\dt{u}) - a_x(u)}{\dt{u}} \,\vec{i} \\ &+ \lim_{\dt{u} \to 0} \frac{a_y(u+\dt{u}) - a_y(u)}{\dt{u}} \,\vec{j} \\ &+ \lim_{\dt{u} \to 0} \frac{a_z(u+\dt{u}) - a_z(u)}{\dt{u}} \,\vec{k} \end{align} \]

因此,根据导数的定义,各系数的结果就得到了 \(\eqref{eq3}\),单位矢量 \(\vec{i}, \,\vec{j}, \, \vec{k}\) 为恒定矢量,不随 \(u\) 变化

对标量积和矢量积的求导

与函数之积的求导法则类似,矢量 \(\vec{a}\)\(\vec{b}\) 都随参数 \(u\) 变化

\[ \begin{gather} \frac{\d{\big( \vec{a} \cdot \vec{b} \tm\big)}}{\d{u}} = \frac{\d{\vec{a}}}{\d{u}} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \frac{\d{\vec{b}}}{\d{u}} \\ \frac{\d{\big( \vec{a} \times \vec{b} \tm\big)}}{\d{u}} = \frac{\d{\vec{a}}}{\d{u}} \times \vec{b} + \vec{a} \times \frac{\d{\vec{b}}}{\d{u}} \end{gather} \]

注意:第二个公式右边矢量积的顺序

矢量对参数求积分

与函数求积分类似,矢量对参数求积分反映了矢量对某个参数变化的累积效应

如图所示,矢量 \(\vec{F}\) 是参数 \(u\) 的函数,\(\vec{F}\) 关于 \(u\) 的积分可写为:

矢量 \(\vec{F}\) 关于参数 \(u\) 的变化
\[ \vec{G} = \int_{a}^{b} \vec{F}(u) \,\d{u} \tag{4} \label{eq4} \]

根据定积分的定义,其对应的求和极限的形式为:

\[ \vec{G} = \lim_{\dt{u}_i \to 0} \sum_{i=1}^N \vec{F} (\xi_i) \,\dt{u_i} \tag{5} \label{eq5} \]

其中,\(\dt{u_i} = u_{i+1} - u_{i}\)\(\xi_i \in [u_i, \, u_{i+1}]\)

直角坐标系中的计算

在直角坐标系中,矢量对某个参数求积分,就等于该矢量的每个直角分量对该参数求积分

例如,\(\vec{F} = F_x(u) \,\vec{i} + F_y(u) \,\vec{j} + F_z(u) \,\vec{k}\),其对参数求积分的结果

\[ \vec{G} = G_x \,\vec{i} + G_y \,\vec{j} + G_z \,\vec{k} \]

其中,

\[ G_x = \int_a^b F_x(u) \,\d{u} ,\ G_y = \int_a^b F_y(u) \,\d{u} ,\ G_z = \int_a^b F_z(u) \,\d{u} \tag{6} \label{eq6} \]
\[ \begin{gather} G_x = \int_a^b F_x(u) \,\d{u} \\ G_y = \int_a^b F_y(u) \,\d{u} \\ G_z = \int_a^b F_z(u) \,\d{u} \end{gather} \tag{6} \]

\(\vec{F}(u)\) 的表达式代入式 \(\eqref{eq4}\) 中,右边

\[ \begin{align} &\lim_{\dt{u_i} \to 0} \sum_{i=1}^N \vec{F} (\xi_i) \,\dt{u_i} = \lim_{\dt{u_i} \to 0} \sum_{i=1}^N \left[ F_x(\xi_i) \,\vec{i} + F_y(\xi_i) \,\vec{j} + F_z(\xi_i) \,\vec{k} \right] \,\dt{u_i} \\ &= \lim_{\dt{u_i} \to 0} \sum_{i=1}^N \left[ F_x(\xi_i) \,\dt{u_i} \right] \,\vec{i} + \lim_{\dt{u_i} \to 0} \sum_{i=1}^N \left[ F_y(\xi_i) \,\dt{u_i} \right] \,\vec{j} \\ & \phantom{=} + \lim_{\dt{u_i} \to 0} \sum_{i=1}^N \left[ F_z(\xi_i) \,\dt{u_i} \right] \,\vec{k} \end{align} \]

\[ \begin{align} &\lim_{\dt{u_i} \to 0} \sum_{i=1}^N \vec{F} (\xi_i) \,\dt{u_i} \\ &= \lim_{\dt{u_i} \to 0} \sum_{i=1}^N \left[ F_x(\xi_i) \,\vec{i} + F_y(\xi_i) \,\vec{j} \right. \\ & \phantom{=} + \left. F_z(\xi_i) \,\vec{k} \right] \,\dt{u_i} \\ &= \lim_{\dt{u_i} \to 0} \sum_{i=1}^N \left[ F_x(\xi_i) \,\dt{u_i} \right] \,\vec{i} \\ & \phantom{=} + \lim_{\dt{u_i} \to 0} \sum_{i=1}^N \left[ F_y(\xi_i) \,\dt{u_i} \right] \,\vec{j} \\ & \phantom{=} + \lim_{\dt{u_i} \to 0} \sum_{i=1}^N \left[ F_z(\xi_i) \,\dt{u_i} \right] \,\vec{k} \end{align} \]

根据定积分的定义

\[ \begin{gather} \lim_{\dt{u_i} \to 0} \sum_{i=1}^N F_x(\xi_i) \,\vec{i} \,\dt{u_i} = \int_a^b F_x(u) \,\d{u} \\ \lim_{\dt{u_i} \to 0} \sum_{i=1}^N F_y(\xi_i) \,\vec{j} \,\dt{u_i} = \int_a^b F_y(u) \,\d{u} \\ \lim_{\dt{u_i} \to 0} \sum_{i=1}^N F_z(\xi_i) \,\vec{k} \,\dt{u_i} = \int_a^b F_z(u) \,\d{u} \end{gather} \]

根据分量的对应关系就可以得到式 \(\eqref{eq6}\)