矢量对参数求导和积分
矢量对参数求导¶
与函数求导类似,矢量对参数求导反映了矢量随某个变量(参数)变化的趋势
如图所示,矢量 \(\vec{a}\) 是参数 \(u\) 的函数,\(\vec{a}\) 关于 \(u\) 的导数可写为:

\[
\frac{\d{\vec{a}(u)}}{\d{u}}
= \lim_{\dt{u} \to 0} \frac{\dt{\vec{a}}}{\dt{u}}
= \lim_{\dt{u} \to 0} \frac{\vec{a}(u + \dt{u}) - \vec{a}(u)}{\dt{u}}
\tag{1}
\label{eq1}
\]
\[
\begin{align}
&\frac{\d{\vec{a}(u)}}{\d{u}}
= \lim_{\dt{u} \to 0} \frac{\dt{\vec{a}}}{\dt{u}} \\
&= \lim_{\dt{u} \to 0} \frac{\vec{a}(u + \dt{u}) - \vec{a}(u)}{\dt{u}}
\tag{1}
\end{align}
\]
直角坐标系中的计算¶
在直角坐标系中,矢量
\[
\vec{a}(u) = a_x(u) \,\vec{i} + a_y(u) \,\vec{j} + a_z(u) \,\vec{k}
\tag{2} \label{eq2}
\]
其对某个参数的求导,只要将每个直角分量分别对该参数求导
\[
\frac{\d{\vec{a}(u)}}{\d{u}} = \frac{\d{a_x}}{\d{u}} \,\vec{i} + \frac{\d{a_y}}{\d{u}} \,\vec{j} + \frac{\d{a_z}}{\d{u}} \,\vec{k}
\tag{3} \label{eq3}
\]
将式 \(\eqref{eq2}\) 代入式 \(\eqref{eq1}\) 中,
\[
\begin{align}
& \lim_{\dt{u} \to 0} \frac{\vec{a}(u + \dt{u}) - \vec{a}(u)}{\dt{u}}
= \lim_{\dt{u} \to 0} \frac{a_x(u+\dt{u}) - a_x(u)}{\dt{u}} \,\vec{i} \\
&+ \lim_{\dt{u} \to 0} \frac{a_y(u+\dt{u}) - a_y(u)}{\dt{u}} \,\vec{j}
+ \lim_{\dt{u} \to 0} \frac{a_z(u+\dt{u}) - a_z(u)}{\dt{u}} \,\vec{k}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
& \lim_{\dt{u} \to 0} \frac{\vec{a}(u + \dt{u}) - \vec{a}(u)}{\dt{u}} \\
&= \lim_{\dt{u} \to 0} \frac{a_x(u+\dt{u}) - a_x(u)}{\dt{u}} \,\vec{i} \\
&+ \lim_{\dt{u} \to 0} \frac{a_y(u+\dt{u}) - a_y(u)}{\dt{u}} \,\vec{j} \\
&+ \lim_{\dt{u} \to 0} \frac{a_z(u+\dt{u}) - a_z(u)}{\dt{u}} \,\vec{k}
\end{align}
\]
因此,根据导数的定义,各系数的结果就得到了 \(\eqref{eq3}\),单位矢量 \(\vec{i}, \,\vec{j}, \, \vec{k}\) 为恒定矢量,不随 \(u\) 变化
对标量积和矢量积的求导¶
与函数之积的求导法则类似,矢量 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 都随参数 \(u\) 变化
\[
\begin{gather}
\frac{\d{\big( \vec{a} \cdot \vec{b} \tm\big)}}{\d{u}} = \frac{\d{\vec{a}}}{\d{u}} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \frac{\d{\vec{b}}}{\d{u}} \\
\frac{\d{\big( \vec{a} \times \vec{b} \tm\big)}}{\d{u}} = \frac{\d{\vec{a}}}{\d{u}} \times \vec{b} + \vec{a} \times \frac{\d{\vec{b}}}{\d{u}}
\end{gather}
\]
注意:第二个公式右边矢量积的顺序
矢量对参数求积分¶
与函数求积分类似,矢量对参数求积分反映了矢量对某个参数变化的累积效应
如图所示,矢量 \(\vec{F}\) 是参数 \(u\) 的函数,\(\vec{F}\) 关于 \(u\) 的积分可写为:

\[
\vec{G} = \int_{a}^{b} \vec{F}(u) \,\d{u}
\tag{4} \label{eq4}
\]
根据定积分的定义,其对应的求和极限的形式为:
\[
\vec{G} = \lim_{\dt{u}_i \to 0} \sum_{i=1}^N \vec{F} (\xi_i) \,\dt{u_i}
\tag{5} \label{eq5}
\]
其中,\(\dt{u_i} = u_{i+1} - u_{i}\),\(\xi_i \in [u_i, \, u_{i+1}]\)
直角坐标系中的计算¶
在直角坐标系中,矢量对某个参数求积分,就等于该矢量的每个直角分量对该参数求积分
例如,\(\vec{F} = F_x(u) \,\vec{i} + F_y(u) \,\vec{j} + F_z(u) \,\vec{k}\),其对参数求积分的结果
\[
\vec{G} = G_x \,\vec{i} + G_y \,\vec{j} + G_z \,\vec{k}
\]
其中,
\[
G_x = \int_a^b F_x(u) \,\d{u} ,\
G_y = \int_a^b F_y(u) \,\d{u} ,\
G_z = \int_a^b F_z(u) \,\d{u}
\tag{6} \label{eq6}
\]
\[
\begin{gather}
G_x = \int_a^b F_x(u) \,\d{u} \\
G_y = \int_a^b F_y(u) \,\d{u} \\
G_z = \int_a^b F_z(u) \,\d{u}
\end{gather}
\tag{6}
\]
将 \(\vec{F}(u)\) 的表达式代入式 \(\eqref{eq4}\) 中,右边
\[
\begin{align}
&\lim_{\dt{u_i} \to 0} \sum_{i=1}^N \vec{F} (\xi_i) \,\dt{u_i}
= \lim_{\dt{u_i} \to 0} \sum_{i=1}^N \left[
F_x(\xi_i) \,\vec{i} + F_y(\xi_i) \,\vec{j} + F_z(\xi_i) \,\vec{k}
\right] \,\dt{u_i} \\
&= \lim_{\dt{u_i} \to 0} \sum_{i=1}^N \left[ F_x(\xi_i) \,\dt{u_i} \right] \,\vec{i}
+ \lim_{\dt{u_i} \to 0} \sum_{i=1}^N \left[ F_y(\xi_i) \,\dt{u_i} \right] \,\vec{j} \\
& \phantom{=} + \lim_{\dt{u_i} \to 0} \sum_{i=1}^N \left[ F_z(\xi_i) \,\dt{u_i} \right] \,\vec{k}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
&\lim_{\dt{u_i} \to 0} \sum_{i=1}^N \vec{F} (\xi_i) \,\dt{u_i} \\
&= \lim_{\dt{u_i} \to 0} \sum_{i=1}^N \left[
F_x(\xi_i) \,\vec{i} + F_y(\xi_i) \,\vec{j} \right. \\
& \phantom{=} + \left. F_z(\xi_i) \,\vec{k} \right] \,\dt{u_i} \\
&= \lim_{\dt{u_i} \to 0} \sum_{i=1}^N \left[ F_x(\xi_i) \,\dt{u_i} \right] \,\vec{i} \\
& \phantom{=} + \lim_{\dt{u_i} \to 0} \sum_{i=1}^N \left[ F_y(\xi_i) \,\dt{u_i} \right] \,\vec{j} \\
& \phantom{=} + \lim_{\dt{u_i} \to 0} \sum_{i=1}^N \left[ F_z(\xi_i) \,\dt{u_i} \right] \,\vec{k}
\end{align}
\]
根据定积分的定义
\[
\begin{gather}
\lim_{\dt{u_i} \to 0} \sum_{i=1}^N F_x(\xi_i) \,\vec{i} \,\dt{u_i} = \int_a^b F_x(u) \,\d{u} \\
\lim_{\dt{u_i} \to 0} \sum_{i=1}^N F_y(\xi_i) \,\vec{j} \,\dt{u_i} = \int_a^b F_y(u) \,\d{u} \\
\lim_{\dt{u_i} \to 0} \sum_{i=1}^N F_z(\xi_i) \,\vec{k} \,\dt{u_i} = \int_a^b F_z(u) \,\d{u}
\end{gather}
\]
根据分量的对应关系就可以得到式 \(\eqref{eq6}\)