矢量基础¶

基本概念¶

标量¶

标量是只有数值大小而没有方向的物理量。具有在坐标变换下保持不变的特性

例如：

力学中的质量、时间和路程
热学中的温度、压强和体积

矢量¶

矢量是具有数值大小和方向的物理量。通常情况下，矢量会随坐标变换而变化

例如：

质点的位置、速度、加速度
力、动量、角动量
电场、磁场

矢量的表示¶

通常用一个带箭头的字母表示矢量，例如，矢量 \(a\) 写为：\(\vec{a}\)

如下图所示

在直角坐标中，矢量 \(\vec{a}\) 分别可以表示为

\[ \begin{align} \text{一维：} \vec{a} &= a_x \,\vec{i} \\ \text{二维：} \vec{a} &= a_x \,\vec{i} + a_y \,\vec{j} \\ \text{三维：} \vec{a} &= a_x \,\vec{i} + a_y \,\vec{j} + a_z \,\vec{k} \end{align} \]

其中

\(a_x\)、\(a_y\) 和 \(a_z\) 分别为 \(\vec{a}\) 沿 \(x\)、\(y\) 和 \(z\) 方向的分量
\(\vec{i}\)、\(\vec{j}\) 和 \(\vec{k}\) 分别为沿 \(x\)、\(y\) 和 \(z\) 方向的单位矢量

\[ \abs{\mkern{1mu}\vec{i}\mkern{1mu}} = \abs{\mkern{1mu}\vec{j}\mkern{1mu}} = \abs{\vec{k}} = 1 \]
\(\vec{i}\)、\(\vec{j}\) 和 \(\vec{k}\) 之间彼此相互垂直，且大小和方向保持恒定，是常矢量

说明

一维矢量只包含一个方向的分量，若不产生歧义，可以省略单位矢量 \(\vec{i}\)，仅用这个方向对应的分量表示。例如，质点沿 \(x\) 轴运动，其位置矢量 \(\vec{r} = x \,\vec{i}\)，也可以简化为 \(x\)

矢量的大小¶

矢量的大小又称为“矢量的模”，习惯采用矢量外加绝对值符号表示，本教程采用与矢量相同字母的标量表示

例如：矢量 \(\vec{a}\) 的大小写为 \(\abs{\vec{a}}\) 或者 \(a\)

直角坐标系中，矢量 \(\vec{a}\) 的大小

\[ \abs{\vec{a}} = a = \left\{ \begin{array}{ll} \abs{a_x} & \text{（一维）} \\ \sqrt{a_x^2 + a_y^2} & \text{（二维）} \\ \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} & \text{（三维）} \end{array} \right. \]

矢量的方向¶

矢量的方向通常采用方向角和方向余弦来描述

方向角¶

如下图所示，矢量的方向角是该矢量与各个坐标轴正方向形成的夹角

方向角的范围为 \(0 \sim 180^{\circ}\)，对应的弧度表示为 \([0,\pi]\)

习惯上，分别用 \(\alpha\)、\(\beta\) 和 \(\gamma\) 表示该矢量与 \(x\)、\(y\) 和 \(z\) 轴之间的方向角

方向余弦¶

矢量的方向余弦为该矢量方向角的余弦值

例如在上图中，矢量 \(\vec{a}\) 的大小为 \(a\)，在直角坐标系中的形式为 \(\vec{a} = a_x \,\vec{i} + a_y \,\vec{j} + a_z \,\vec{k}\)，则它的方向余弦

\[ \cos\alpha = {a_x \over a},\ \cos\beta = {a_y \over a},\ \cos\gamma = {a_z \over a} \]

由方向余弦求方向角¶

由于方向角的范围为 \([0, \pi]\)，因此，已知方向余弦求方向角的公式为

\[ \begin{gather} \alpha = \arccos \rb{a_x \over a},\ \beta = \arccos \rb{a_y \over a},\ \gamma = \arccos \rb{a_z \over a} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \alpha = \arccos \rb{a_x \over a},\ \beta = \arccos \rb{a_y \over a}\\ \gamma = \arccos \rb{a_z \over a} \end{gather} \]

矢量相加和相减¶

几何方法¶

矢量相加在几何上遵循平行四边形法则或三角形法则

矢量相加。左：平行四边形法则；右：三角形法则

如上图所示，要完成矢量 \(\vec{a}\) 和矢量 \(\vec{b}\) 的相加，\(\vec{a} + \vec{b}\)，可采用下面两种方法之一
- 平行四边形法则：将矢量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 平移至共同起点，以它们为邻边作一个平行四边形，以共同起点出发，沿对角线作一个矢量连接到对角点，该矢量就是和矢量 \(\vec{a}+\vec{b}\)
- 三角形法则: 平移矢量 \(\vec{a}\) ，使其终点与矢量 \(\vec{b}\) 的起点重合，连接矢量 \(\vec{a}\) 的起点和矢量 \(\vec{b}\) 的终点，所得到的矢量即为和矢量 \(\vec{b}\) 的和矢量 \(\vec{a}+\vec{b}\)
矢量相减可以看作是加上一个相反方向的矢量

矢量相减。左：\(\vec{a}+\big(-\vec{b} \,\big)\)；右：三角形法则

如上图所示，要计算 \(\vec{a} - \vec{b}\)，先平移矢量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 至共同起点，再采用下面两种方法之一
- 求出矢量 \(\vec{b}\) 的相反矢量，记作 \(-\vec{b}\)；将矢量 \(\vec{a}\) 和 \(-\vec{b}\) 按照矢量相加的平行四边形法则，\(\vec{a}-\vec{b}\) 的结果就等于 \(\vec{a} + \big(-\vec{b}\,\big)\)
- 连接矢量 \(\vec{b}\) 的终点指向矢量 \(\vec{a}\) 的终点，这个矢量就表示 \(\vec{a}-\vec{b}\)¹

代数方法¶

矢量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 在直角坐标系中可表为

\[ \begin{gather} \vec{a} = a_x \,\vec{i} + a_y \,\vec{j} + a_z \,\vec{k} \\ \vec{b} = b_x \,\vec{i} + b_y \,\vec{j} + b_z \,\vec{k} \end{gather} \]

若 \(\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}\)，则 \(\vec{c}\) 的分量为 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 对应分量之和，即

\[ c_x = a_x + b_x, \ c_y = a_y + b_y, \ c_z = a_z + b_z \]
若 \(\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}\)，则 \(\vec{c}\) 的分量为 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 对应分量之差，即

\[ c_x = a_x - b_x, \ c_y = a_y - b_y, \ c_z = a_z - b_z \]

综上所述

\[ \vec{c} = \vec{a} \pm \vec{b} = \left(a_x \pm b_x\right) \,\vec{i} + \left(a_y \pm b_y\right) \,\vec{j} + \left(a_z \pm b_z\right) \,\vec{k} \]

\[ \begin{align} \vec{c} &= \vec{a} \pm \vec{b} \\ & = \left(a_x \pm b_x\right) \,\vec{i} + \left(a_y \pm b_y\right) \,\vec{j} + \left(a_z \pm b_z\right) \,\vec{k} \end{align} \]

注意方向是从被减矢量的终点指向减矢量的终点 ↩