标量积和矢量积

标量积¶

标量积，又名“点积”、“内积”，是由两个矢量参与并得到一个标量的运算

标量积反映了反映了两个矢量在同一方向上投影的乘积

公式表述¶

对于矢量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\)，它们的大小分别用 \(a\) 和 \(b\) 表示，其标量积的写为 \(\vec{a} \cdot \vec{b}\)

注意：\(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 之间的点“ \(\cdot\) ”不能省略，也不能写为“\(\times\)”

计算规则¶

标量积 \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) 为 \(\vec{a}\) 在 \(\vec{b}\) 上的投影（\(a \cos\theta\) ）再乘以 \(\vec{b}\) 的长度，或 \(\vec{b}\) 在 \(\vec{a}\) 上的投影（\(b \cos\theta\) ）再乘以 \(\vec{a}\) 的长度

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a \tm b \cos\theta \]

其中，\(\theta\) 为 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 之间的夹角
在直角坐标系中遵循对应分量乘积相加

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \tm b_x + a_y \tm b_y + a_z \tm b_z \]

标量积的特性¶

交换律：标量积的结果与矢量的顺序无关，\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\)
分配律：标量积对矢量加法具有分配性，\(\vec{a} \cdot \rb{\vec{b} + \vec{c}} = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\)
数乘结合律：\(\big(k \vec{a} \tm\big) \cdot \vec{b} = k \big(\vec{a} \cdot \vec{b}\tm\big)\)
正交性：如果 \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)，则 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 正交（垂直），反过来也成立
模的平方：一个矢量与自身的标量积等于其模的平方，\(\vec{a} \cdot \vec{a} = a^2\)
夹角关系：标量积可以用来计算两个矢量之间的夹角 \(\theta\)

\[ \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{a \tm b} \]

矢量积¶

矢量积，又名“叉积”、“外积”，是由两个矢量参与并得到为一个新矢量的运算

矢量积反映了由两个矢量确定的平行四边形的有向面积

公式表述¶

对于矢量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\)，它们的大小分别用 \(a\) 和 \(b\) 表示，其矢量积的写为 \(\vec{a} \times \vec{b}\)

注意：\(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 之间的乘号“\(\times\)”不能省略或写成点“ \(\cdot\) ”，\(\vec{a}\times\vec{b}\) 通常也不等于 \(\vec{b}\times\vec{a}\)

计算规则¶

如下图所示，矢量积 \(\vec{a} \times \vec{b}\) 的结果为 \(\vec{c}\)

则矢量 \(\vec{c}\)

大小： \(a \tm b \sin\theta\)，其中，\(\theta\) 为 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 之间的夹角（不超过 \(180^\circ\)），以 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 为邻边的平行四边形的面积
方向：垂直于 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 所确定的平面 \(S\)（\(\vec{c} \perp \vec{a}, \ \vec{c} \perp \vec{b}\tm\)），且与 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 满足右手螺旋关系

右手螺旋关系

如下图所示，矢量 \(\vec{c}\) 的方向可由右手螺旋定则确定

右手四指并拢伸直，指向与矢量 \(\vec{a}\) 的方向一致
想象矢量 \(\vec{a}\) 在平面 \(S\) 内沿着小于 \(180^\circ\) 的角度旋转至矢量 \(\vec{b}\) 的方向，同时使四指沿旋转方向微微弯曲
立起右手大拇指，其指向即为矢量 \(\vec{a} \times \vec{b}\) 的方向

单位矢量 \(\vec{i},\ \vec{j},\ \vec{k}\) 之间的矢量积（请根据右手矢量积的计算规则自行验证）

\[ \begin{gather} \vec{i} \times \vec{j} = \vec{k},\ \vec{j} \times \vec{i} = -\vec{k}\\ \vec{j} \times \vec{k} = \vec{i},\ \vec{k} \times \vec{j} = -\vec{i}\\ \vec{k} \times \vec{i} = \vec{j},\ \vec{i} \times \vec{k} = -\vec{j}\\ \vec{i} \times \vec{i} = \vec{j} \times \vec{j} = \vec{k} \times \vec{k} = \vec{0} \end{gather} \]
在直角坐标系中

\[ \begin{align} &\vec{a} \times \vec{b} = \left( a_x \vec{i} + a_y \vec{j} + a_z \vec{k} \right) \times \left( b_x \vec{i} + b_y \vec{j} + b_z \vec{k} \right) \\ &= \left( a_y \tm b_z - a_z \tm b_y \right) \vec{i} + \left( a_z \tm b_x - a_x \tm b_z \right) \vec{j} + \left( a_x \tm b_y - a_y \tm b_x \right) \vec{k} \tag{1} \label{eq:cross-product} \end{align} \]

\[ \begin{align} &\vec{a} \times \vec{b} = \left( a_x \vec{i} + a_y \vec{j} + a_z \vec{k} \right) \\ &\times \left( b_x \vec{i} + b_y \vec{j} + b_z \vec{k} \right) \\ &= \left( a_y \tm b_z - a_z \tm b_y \right) \vec{i} \\ &+ \left( a_z \tm b_x - a_x \tm b_z \right) \vec{j} \\ &+ \left( a_x \tm b_y - a_y \tm b_x \right) \vec{k} \tag{1} \end{align} \]

记 \(\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}\)，则

\[ \begin{gather} c_x = a_y \tm b_z - a_z \tm b_y \\ c_y = a_z \tm b_x - a_x \tm b_z \\ c_z = a_x \tm b_y - a_y \tm b_x \end{gather} \]

规律：
- \(c\)、\(a\) 和 \(b\) 的下标只能不重复地从 \(x\)、\(y\) 和 \(z\) 中选一个
- 若 \(c\)、\(a\) 和 \(b\) 的下标构成的序列为 \(xyz, \ yzx, \ zxy\) 中的一个，则此项的符号为正，否则为负
公式 \(\eqref{eq:cross-product}\) 的结果也可以用行列式表示：

\[ \begin{align} &\vec{a} \times \vec{b} = \left|\, \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{matrix}\right| \end{align} \]

\[ \begin{align} &\vec{a} \times \vec{b} = \left|\, \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{matrix}\right| \end{align} \]

将此行列式按照首行展开

\[ \begin{align} &= \vec{i} \left|\tm \begin{matrix} a_y & a_z \\ b_z & b_x \end{matrix}\right| - \vec{j} \left|\tm \begin{matrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \end{matrix}\right| + \vec{k} \left|\tm \begin{matrix} a_x & a_y \\ b_y & b_z \end{matrix}\right| \\ &= \left( a_y \tm b_z - a_z \tm b_y \right) \vec{i} + \left( a_z \tm b_x - a_x \tm b_z \right) \vec{j} + \left( a_x \tm b_y - a_y \tm b_x \right) \vec{k} \end{align} \]

\[ \begin{align} &= \vec{i} \left|\tm \begin{matrix} a_y & a_z \\ b_z & b_x \end{matrix}\right| - \vec{j} \left|\tm \begin{matrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \end{matrix}\right| + \vec{k} \left|\tm \begin{matrix} a_x & a_y \\ b_y & b_z \end{matrix}\right| \\ &= \left( a_y \tm b_z - a_z \tm b_y \right) \vec{i} + \left( a_z \tm b_x - a_x \tm b_z \right) \vec{j}\\ &+ \left( a_x \tm b_y - a_y \tm b_x \right) \vec{k} \end{align} \]

矢量积的特性¶

反交换律：顺序改变，方向相反，\(\vec{a} \times \vec{b} = - \tm \vec{b} \times \vec{a}\)
分配律：矢量积对矢量加法和减法具有分配性，\(\vec{a} \times \rb{\vec{b} + \vec{c}} = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}\)
结合律（对于标量乘法）：\(\rb{k \vec{a}} \times \vec{b} = k \big(\vec{a} \times \vec{b} \tm\big) = \vec{a} \times \big(k \vec{b} \tm \big)\)
判断平行：若 \(\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}\)，则 \(\vec{a} \parallel \vec{b}\)，反过来也成立

特例：\(\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}\)

标量积和矢量积的混合运算¶

在包含标量积和矢量积的混合运算表达式中，矢量积的运算优先级高于标量积

在没有括号的情况下，应先计算矢量积，再计算标量积

例如：\(\vec{a} \cdot \vec{b} \times \vec{c}\) 的含义为：\(\vec{a} \cdot \big(\tm \vec{b} \times \vec{c} \tm\big)\)

标量三重积¶

标量三重积的形式为 \(\vec{a} \cdot \big(\tm \vec{b} \times \vec{c} \tm\big)\) 或 \(\big(\tm \vec{u} \times \vec{v} \tm\big) \cdot \vec{w}\)

标量三重积的结果为一个标量，其绝对值等于以 \(\vec{a}, \, \vec{b}, \, \vec{c}\) 为棱的平行六面体的体积

直角坐标系中的计算

\[ \begin{align} &\vec{b} \times \vec{c} = \left|\tm \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{matrix}\right| \\ &= (b_y \tm c_z - b_z \tm c_y) \tm\vec{i} + (b_z \tm c_x - b_x \tm c_z) \tm\vec{j} + (b_x \tm c_y - b_y \tm c_x) \tm\vec{k} \end{align} \]

\[ \begin{align} &\vec{b} \times \vec{c} = \left|\tm \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{matrix}\right| \\ &= (b_y \tm c_z - b_z \tm c_y) \tm\vec{i} + (b_z \tm c_x - b_x \tm c_z) \tm\vec{j} \\ &+ (b_x \tm c_y - b_y \tm c_x) \tm\vec{k} \end{align} \]

因此，

\[ \begin{align} &\vec{a} \cdot \big(\tm \vec{b} \times \vec{c} \tm\big)\\ &= a_x \tm (b_y \tm c_z - b_z \tm c_y) + a_y \tm (b_z \tm c_x - b_x \tm c_z) + a_z \tm (b_x \tm c_y - b_y \tm c_x) \\ &= \left|\tm \begin{matrix} a_x & a_y & a_z \\ b_y & b_z & b_x \\ c_z & c_x & c_y \end{matrix}\right| \tag{2} \label{eq：stp} \end{align} \]

\[ \begin{align} &\vec{a} \cdot \big(\tm \vec{b} \times \vec{c} \tm\big) = a_x \tm (b_y \tm c_z - b_z \tm c_y) \\ &+ a_y \tm (b_z \tm c_x - b_x \tm c_z) \\ &+ a_z \tm (b_x \tm c_y - b_y \tm c_x) \\ &= \left|\tm \begin{matrix} a_x & a_y & a_z \\ b_y & b_z & b_x \\ c_z & c_x & c_y \end{matrix}\right| \tag{2} \end{align} \]

轮换性：\(\vec{a} \cdot \big(\tm \vec{b} \times \vec{c} \tm\big) = \vec{b} \cdot \big(\tm \vec{c} \times \vec{a} \tm\big) = \vec{c} \cdot \big(\tm \vec{a} \times \vec{b} \tm\big)\)

轮换性的说明

根据式 \(\eqref{eq：stp}\)

\[ \vec{b} \cdot \big(\tm \vec{c} \times \vec{a} \tm\big) = \left|\tm \begin{matrix} b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ a_x & a_y & a_z \end{matrix}\right| \]

该行列式相当于 \(\eqref{eq：stp}\) 中行列式依次作下列两次行交换

\[ r_2 \leftrightarrow r_3,\ r_1 \leftrightarrow r_2 \]

根据行列式的性质，进行偶数次行交换，行列式的值保持不变。类似的，\(\vec{c} \cdot \big(\tm \vec{a} \times \vec{b} \tm\big)\) 也有等值的行列式

矢量三重积¶

矢量三重积的形式为 \(\vec{a} \times \big(\tm \vec{b} \times \vec{c} \tm\big)\) 或 \(\big(\tm \vec{u} \times \vec{v} \tm\big) \times \vec{w}\)，其结果为一个矢量

重要结论

\[ \vec{a} \times \big(\tm \vec{b} \times \vec{c} \tm\big) = \big( \vec{a} \cdot \vec{c} \tm\big) \tm\vec{b} - \big( \vec{a} \cdot \vec{b} \tm\big) \tm\vec{c} \tag{3} \label{eq:tvp} % triple vector product \]

直角坐标系中的证明

计算 \(\vec{b} \times \vec{c}\)

\[ \vec{b} \times \vec{c} = \left|\tm \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{matrix}\right| = (b_y \tm c_z - b_z \tm c_y) \tm\vec{i} + (b_z \tm c_x - b_x \tm c_z) \tm\vec{j} + (b_x \tm c_y - b_y \tm c_x) \tm\vec{k} \]

\[ \begin{align} &\vec{b} \times \vec{c} = \left|\tm \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{matrix}\right| \\ &= (b_y \tm c_z - b_z \tm c_y) \tm\vec{i} + (b_z \tm c_x - b_x \tm c_z) \tm\vec{j} \\ & + (b_x \tm c_y - b_y \tm c_x) \tm\vec{k} \end{align} \]

因此，

\[ \begin{align} &\vec{a} \times \big(\tm \vec{b} \times \vec{c} \tm\big) = \left|\, \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_y \tm c_z - b_z \tm c_y & b_z \tm c_x - b_x \tm c_z & b_x \tm c_y - b_y \tm c_x \end{matrix} \mkern{-15mu}\right| \\ & = \left[ a_y \rb{ b_x \tm c_y - b_y \tm c_x } - a_z \rb{ b_z \tm c_x - b_x \tm c_z } \right] \tm\vec{i} \\ &+ \left[ a_z \rb{ b_y \tm c_z - b_z \tm c_y } - a_x \rb{ b_x \tm c_y - b_y \tm c_x } \right] \tm\vec{j} \\ &+ \left[ a_x \rb{ b_z \tm c_x - b_x \tm c_z } - a_y \rb{ b_y \tm c_z - b_z \tm c_y } \right] \tm \vec{k} \end{align} \]

\[ \begin{align} &\vec{a} \times \big(\tm \vec{b} \times \vec{c} \tm\big) \\ &= \left|\, \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_y \tm c_z - b_z \tm c_y & b_z \tm c_x - b_x \tm c_z & b_x \tm c_y - b_y \tm c_x \end{matrix} \mkern{-15mu}\right| \\ & = \left[ a_y \rb{ b_x \tm c_y - b_y \tm c_x } - a_z \rb{ b_z \tm c_x - b_x \tm c_z } \right] \tm\vec{i} \\ &+ \left[ a_z \rb{ b_y \tm c_z - b_z \tm c_y } - a_x \rb{ b_x \tm c_y - b_y \tm c_x } \right] \tm\vec{j} \\ &+ \left[ a_x \rb{ b_z \tm c_x - b_x \tm c_z } - a_y \rb{ b_y \tm c_z - b_z \tm c_y } \right] \tm \vec{k} \end{align} \]

上式中包含 \(\vec{i}\) 的项的系数可写为

\[ \begin{align} &b_x \rb{ a_y \tm c_y + a_z \tm c_z } - c_x \rb{ a_y \tm b_y + a_z \tm b_z } \\ &= b_x \rb{ \vec{a} \cdot \vec{c} - a_x \tm c_x } - c_x \rb{ \vec{a} \cdot \vec{b} - a_x \tm b_x } \\ &= \rb{ \vec{a} \cdot \vec{c} \tm} \tm b_1 - \rb{ \vec{a} \cdot \vec{b} \tm} \tm c_1 \end{align} \]

同理，包含 \(\vec{j}\) 和 \(\vec{k}\) 的项的系数分别可以写为

\[ \begin{gather} \rb{\vec{a} \cdot \vec{c} \tm} \tm b_2 - \rb{\vec{a} \cdot \vec{b} \tm} \tm c_2 \\ \rb{\vec{a} \cdot \vec{c} \tm} \tm b_3 - \rb{\vec{a} \cdot \vec{b} \tm} \tm c_3 \end{gather} \]

这样就可以得到式 \(\eqref{eq:tvp}\) 的结果