曲线积分

基本概念¶

曲线积分是在特定曲线上对函数进行积分（或累加）的过程

在曲线积分中，函数的取值沿特定的曲线，该曲线被称为积分路径

按照被积函数的类型，曲线积分可分为标量场的曲线积分和矢量场的曲线积分两类

标量场的曲线积分¶

标量场的曲线积分，也称为对弧长的曲线积分或者第一类曲线积分，计算的是一个标量函数沿着特定的路径累积的总和

一个常见的物理应用是计算一段曲线的质量，其中被积函数代表该曲线的线密度

数学表述¶

标量场的曲线积分形式如下

\[ \hlt{\int_L f \,\d{s}} \label{eq1}\tag{1} \]

其中

\(L\) 是积分路径（曲线）
\(f\) 是一个标量函数，其取值依赖于空间位置，例如 \(f\rb{x,y,\cdots}\)
\(\d{s}\) 是曲线上的无穷小弧长或路径微元

极限定义

函数 \(f\) 也可以写为路程 \(s\) 的函数 \(f\rb{s}\) 。从积分路径 \(L\) 的一端出发，并沿 \(L\) 运动，按照路程从小到大，在 \(L\) 上依次插入一系列分段点 \(\rb{s_0, s_1, \cdots , s_N}\)，其中，\(s_0\) 和 \(s_N\) 分别为出发和终止的端点，则公式 \(\eqref{eq1}\) 的可写为如下的极限形式

\[ \int_L f \,\d{s} = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^N f\rb{\xi_i} \,\dt{s}_i \]

其中，\(\dt{s}_i = s_i - s_{i-1}\)，\(\lambda\) 为所有 \(\dt{s}_i\) 中长度的最大值，\(\xi_i \in \sb{s_{i-1}, s_{i}}\)

几何意义¶

以二元函数 \(f(x,y)\) 为例，如下图所示，函数 \(f(x,y)\) 在 \(xOy\) 平面上的大小由不同颜色表示。沿着 \(xOy\) 平面上的路径 \(L\)（红色曲线）积分。

Image title — 函数 \(f(x,y)\) 沿曲线 \(L\) 积分的二维平面图

如下图所示，当转换到三维视角后，用沿 \(z\) 方向的起伏表示 \(f(x,y)\) 在 \(xOy\) 平面上的值。蓝色虚线则勾画了 \(f(x,y)\) 在 \(L\) 上的值。

显然，\(\displaystyle \int_L f(x,y) \,\d{s}\) 的结果就是蓝色虚线与红色路径 \(L\) 间围成的黄色曲面的面积

矢量场的曲线积分¶

矢量场的曲线积分，也称为对坐标的曲线积分或者第二类曲线积分，计算的是矢量场与特定路径上位移微元之间标量积的累积

一个典型的物理应用是计算一个力场沿某个路径对物体所作的功

数学表述¶

矢量场的曲线积分的形式如下

\[ \hlt{\int_L \vec{F} \cdot \d{\vec{r}}} \label{eq2} \tag{2} \]

其中

\(L\) 是积分路径（曲线），具有明确的方向
\(\vec{F}\) 是一个矢量场函数，其取值依赖于空间位置，例如 \(\vec{F}\rb{x,y,\cdots}\tm\)
\(\d{\vec{r}}\) 是积分路径上的无穷小位移或位移微元

在三维直角坐标系中，矢量

\[ \vec{F} = F_x\rb{x,y,z} \,\vec{i}+ F_y\rb{x,y,z} \,\vec{j} + F_z\rb{x,y,z} \,\vec{k} \]

位移微元 \(\ds \d{\vec{r}}= \d{x} \,\vec{i} + \d{y} \,\vec{j} + \d{z} \,\vec{k}\)，则矢量场的曲线积分

\[ \int_L \vec{F} \cdot \,\d{\vec{r}} = \int_L \rb{F_x \,\d{x} + F_y \,\d{y} + F_z \,\d{z}} \tag{3} \label{eq3} \]

几何意义¶

如下图所示，以二元矢量函数 \(\vec{F}\) 为例，其遍布整个 \(xOy\) 平面

将积分路径 \(L\) 分为 \(N\) 段（蓝黄相间，编号依次为 \(1,2,\cdots , N\)）

记第 \(i\) 段的位移为 \(\dt{\vec{r}_i}\)，用该段上某处的矢量 \(\vec{F}_i\) 代表 \(\vec{F}\) 在该分段的值，与 \(\dt{\vec{r}_i}\) 作标量积，即 \(\vec{F}_i \cdot \dt{\vec{r}_i}\)，则 \(\vec{F}\) 沿着整个路径 \(L\) 的标量积的总和可写为

\[ \lim_{\mu \to 0} \sum_{i=1}^N \vec{F}_i \cdot \dt{\vec{r}_i} \]

其中，\(\mu\) 为所有 \(\abs{\dt{\vec{r}_i}}\) 中的最大值。写为积分的形式，即为式 \(\eqref{eq2}\)

计算方法¶

曲线积分通常都通过参数化转化为定积分求解

标量场曲线积分的计算¶

以 \(\ds \int_L f(x,y) \,\d{s}\) 为例，引入参数 \(t\)

坐标参数化：\(x = x(t),\ y = y(t)\)，\(t = a\) 和 \(t = b\) 分别对应 \(L\) 的起点和终点
函数参数化：\(\ds f\rb{x,y} = f\sb{x\rb{t},y\rb{t}}\)，记为 \(\tilde{f}(t)\)
路径微元参数化：

\[ \d{s} = \sqrt{\rb{\d{x}}^2 + \rb{\d{y}}^2} = \sqrt{\rb{\d{x}\over\d{t}}^2 + \rb{\d{y}\over\d{t}}^2} \,\d{t} \]

\[ \begin{align*} \d{s} &= \sqrt{\rb{\d{x}}^2 + \rb{\d{y}}^2} \\ &= \sqrt{\rb{\d{x}\over\d{t}}^2 + \rb{\d{y}\over\d{t}}^2} \,\d{t} \end{align*} \]

综合上述结果

\[ \hlt{ \int_L f(x,y) \,\d{s} = \int_a^b \tilde{f}\rb{t} \sqrt{\rb{\d{x}\over\d{t}}^2 + \rb{\d{y}\over\d{t}}^2} \,\d{t} } \]

矢量场曲线积分的计算¶

以 \(\ds \int_L \vec{F}(x,y,z) \cdot \,\d{\vec{r}}\) 为例，引入参数 \(t\)

坐标参数化：\(x = x(t),\ y = y(t),\ z = z(t)\)，\(t = a\) 和 \(t = b\) 分别对应 \(L\) 的起点和终点
分量函数参数化：

\[ \begin{align*} F_x\rb{x,y,z} = F_x\sb{x(t),y(t),z(t)}, \ \text{记为}\ \tilde{F}_x(t) \\ F_y\rb{x,y,z} = F_y\sb{x(t),y(t),z(t)}, \ \text{记为}\ \tilde{F}_y(t) \\ F_z\rb{x,y,z} = F_z\sb{x(t),y(t),z(t)}, \ \text{记为}\ \tilde{F}_z(t) \end{align*} \]
位移微元参数化：

\[ \d{\vec{r}} = \d{x} \,\vec{i} + \d{y} \,\vec{j} + \d{z} \,\vec{k} = \sb{\rb{\d{x}\over\d{t}} \,\vec{i} + \rb{\d{y}\over\d{t}} \,\vec{j} + \rb{\d{z}\over\d{t}} \,\vec{k} } \,\d{t} \]

\[ \begin{align*} \d{\vec{r}} & = \d{x} \,\vec{i} + \d{y} \,\vec{j} + \d{z} \,\vec{k} \\ & = \sb{\rb{\d{x}\over\d{t}} \,\vec{i} + \rb{\d{y}\over\d{t}} \,\vec{j} + \rb{\d{z}\over\d{t}} \,\vec{k} } \,\d{t} \end{align*} \]

综合上述结果，公式 \(\eqref{eq3}\) 可化为

\[ \hlt{ \int_L \vec{F} \cdot \,\d{\vec{r}} = \int_a^b \sb{\tilde{F}_x (t) {\d{x}\over\d{t}} + \tilde{F}_y (t) {\d{y}\over\d{t}} + \tilde{F}_z (t) {\d{z}\over\d{t}}} \,\d{t} } \]

\[ \hlt{ \begin{align*} \int_L \vec{F} \cdot \,\d{\vec{r}} = & \int_a^b \left[ \tilde{F}_x (t) {\d{x}\over\d{t}} + \tilde{F}_y (t) {\d{y}\over\d{t}} \right. \\ & \left. + \tilde{F}_z (t) {\d{z}\over\d{t}}\,\d{t} \right] \end{align*} } \]