曲线积分
一般性说明¶
曲线积分就是积分函数的取值沿特定的曲线，这条曲线通常被称为积分路径。
曲线积分与区域积分的区别¶
- 区域积分中，函数的取值遍及整个区域，如：
\[
\int_a^b f(x) \,\d{x}, \
\iint_{S} f(x,y) \,\d{x} \d{y}, \
\iiint_{V} f(x,y,z) \,\d{x} \d{y} \d{z}
\]
- 曲线积分中，函数 \(f\) 通常为多元函数，其取值沿特定的曲线，通常有如下形式的表达式：
\[
\int_L f(s) \,\d{s}, \
\int_L \vec{F} \cdot \,\d{\vec{r}}
\]
并且，要说明曲线 \(L\) 为哪一条曲线
如 \(L:\ x^2 - 2y = 0, \ x \in [0,2]\)，或参数方程的形式 \(L : \left\{\begin{align} x &= t \\ y &= x^2/2 \end{align}\right., \ t \in [0,2]\)
对弧长的曲线积分¶
对弧长的曲线积分也称为标量场的曲线积分或者第一类曲线积分
表达式形式：
\[
\int_L f(x,y, \cdots) \,\d{s}
\]
其中，\(L\) 为积分路径，被积函数 \(f\) 通常为空间变量的多元函数，\(\d{s}\) 为在这个空间中的路径微元
以二元函数 \(f(x,y)\) 为例，如下图所示，用不同的颜色表示函数 \(f(x,y)\) 在 \(xOy\) 平面上的值。 现在沿着 \(xOy\) 平面上的路径 \(L\)（红色曲线）积分。
当转到三维视角后，如下图所示，沿 \(z\) 方向的起伏表示函数 \(f(x,y)\) 的值。 蓝色虚线描绘了函数 \(f(x,y)\) 沿路径 \(L\) 上的值。
不难看出，曲线积分 \(\displaystyle \int_L f(x,y) \,\d{s}\) 的结果，为蓝色虚线与红色路径 \(L\) 之间围成的黄色区域的面积。