散度和旋度
散度¶
散度（Divergence）是用来衡量矢量场中某一点通量的发散程度的物理量
散度通常是一个矢量算子，作用于一个矢量场，产生一个标量场
定义与公式¶
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物理与几何的定义
在矢量场中某点处的散度可写为 \(\mr{div} \vec{F}\) 或 \(\nabla \cdot \vec{F}\)，可写为下列极限
\[ \nabla \cdot \vec{F} = \lim_{\dt{V} \to 0} \frac{1}{\dt{V}} \iint_{S} \vec{F} \cdot \d{\vec{s}} \]其中，\(\dt{V}\) 是包含该点的区域，\(S\) 是区域 \(\dt{V}\) 的闭合的边界曲面
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基于坐标的定义
在直角坐标系中，对于矢量场 \(\ds \vec{F} = F_x \,\vec{i} + F_y \,\vec{j} + F_z \,\vec{k}\)，其散度
\[ \hlt{ \nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} } \]其中，\(\ds \nabla = \frac{\partial}{\partial x} \,\vec{i} + \frac{\partial}{\partial y} \,\vec{j} + \frac{\partial}{\partial z} \,\vec{k}\)，为 Nabla 算子
物理意义¶
散度描述了矢量场在某一点的“源”或“汇”的强度
- 如果 \(\nabla \cdot \vec{F} > 0\)，表示该点是通量的“源”，有净通量从该点流出
- 如果 \(\nabla \cdot \vec{F} < 0\)，表示该点是通量的“汇”，有净通量向该点流入
- 如果 \(\nabla \cdot \vec{F} = 0\)，表示该点是无源场，通量既不产生也不消失。例如：\(\ds \nabla \cdot \vec{B} = 0\) 表示磁场中不存在类似于电荷的“磁荷”
散度定理¶
散度定理（Divergence Theorem），也称为高斯定理（Gauss's Theorem），描述了矢量场通过闭合曲面的通量与其内部散度的关系
对于一个矢量场 \(\vec{F}\) 和一个封闭曲面 \(S\) 所包围的体积 \(V\)，散度定理表示为：
其中，等号左边表示矢量 \(\vec{F}\) 对体区域 \(V\) 的边界面 \(S\) 的通量，右边则表示 \(\vec{F}\) 的散度在 \(V\) 内的体积积分
旋度¶
旋度（Curl）是用来衡量矢量场中某点周围矢量的旋转强度和旋转方向的物理量
旋度通常是一个矢量算子，作用于一个矢量场，产生一个矢量场
定义与公式¶
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物理与几何的定义
在矢量场中某点处的旋度可写为 \(\mr{curl} \vec{F}\) 或 \(\nabla \times \vec{F}\)
\[ \hlt{ \nabla \times \vec{F} = \lim_{\dt{S} \to 0} \frac{1}{\dt{S}} \oint_C \vec{F} \cdot \d{\vec{l}} } \]其中，\(\dt{S}\) 是包含该点的面区域，\(C\) 是区域 \(\dt{S}\) 的闭合的边界曲线
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基于坐标的定义
在直角坐标系中，对于矢量场 \(\ds \vec{F} = F_x \,\vec{i} + F_y \,\vec{j} + F_z \,\vec{k}\)，其旋度
\[ \hlt{ \nabla \times \vec{F} = \rb{\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}} \tm\vec{i} + \rb{\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}} \tm\vec{j} + \rb{\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}} \tm\vec{k} } \]\[ \hlt{ \begin{align*} & \nabla \times \vec{F} = \rb{\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}} \tm\vec{i} \\ & + \rb{\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}} \tm\vec{j} + \rb{\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}} \tm\vec{k} \end{align*} } \]其中，\(\ds \nabla = \frac{\partial}{\partial x} \,\vec{i} + \frac{\partial}{\partial y} \,\vec{j} + \frac{\partial}{\partial z} \,\vec{k}\)，为 Nabla算子
上式也可以表示为行列式的形式
\[ \nabla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix} \]
物理意义¶
旋度描述了矢量场在某一点的“旋转”强度和方向
- 如果 \(\nabla \times \vec{F} \neq 0\)，表示该点存在旋转，旋度矢量的方向表示旋转轴的方向，其大小表示旋转的强度
- 如果 \(\nabla \times \vec{F} = 0\)，表示该点是无旋场，矢量场在该点没有旋转。例如：静电场 \(\vec{E}\) 是无旋场，\(\ds \nabla \times \vec{E} = 0\)
旋度定理¶
旋度定理（Curl Theorem），也称为斯托克斯定理（Stokes' Theorem），描述了矢量场沿封闭曲线的环量与其内部旋度的关系
对于一个矢量场 \(\vec{F}\) 和一个以曲线 \(C\) 为边缘的曲面 \(S\)，斯托克斯定理表示为：
其中，等号左边表示矢量 \(\vec{F}\) 沿封闭曲线 \(C\) 的环量，右边则表示 \(\vec{F}\) 的旋度对曲面 \(S\) 的曲面积分（通量）