微分方程求解
一阶可分离变量微分方程¶
一阶可分离变量微分方程是指可以通过将变量分离到方程两边来求解的微分方程
此类方程可化为下面的形式：
求 \(x\) 和 \(y\) 的关系
在大学物理中，求解方程 \(\eqref{eq1}\) 可采用“不定积分法”和“定积分法”两种方法求解
不定积分法¶
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设函数 \(f(x)\) 和 \(g(y)\) 的原函数分别为 \(F(x)\) 和 \(G(y)\)，对方程 \(\eqref{eq1}\) 两边求不定积分，得
\[ \int f(x) \,\d{x} = \int g(y) \,\d{y} \, \Rightarrow \, F(x) + C_1 = G(y) + C_2 \]\[ \begin{gather} \int f(x) \,\d{x} = \int g(y) \,\d{y} \\ \, \Rightarrow \, F(x) + C_1 = G(y) + C_2 \end{gather} \]合并常数 \(C_1\) 和 \(C_2\)，得到 \(F(x) = G(y) + C\)
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确定常数 \(C\)，当 \(x = x_0\) 时， \(y = y_0\)，方程 \(F(x) = G(y) + C\) 对应的曲线经过点 \((x_0, \, y_0)\)，因此
\[ F(x_0) = G(y_0) + C \Rightarrow C = F(x_0) - G(y_0) \]\[ \begin{gather} F(x_0) = G(y_0) + C \\ \Rightarrow C = F(x_0) - G(y_0) \end{gather} \]可得到方程的解为：
\[ F(x) - F(x_0) = G(y) - G(y_0) \tag{2} \label{eq2} \]
定积分法¶
- 设变量 \(x\) 从 \(x_0\) 变化到 \(x\)；对应的，变量 \(y\) 从 \(y_0\) 变化到 \(y\)
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对方程 \(\eqref{eq1}\) 两边求如下的定积分
\[ \begin{gather} \int_{x_0}^x f(x) \,\d{x} = \int_{y_0}^y g(y) \,\d{y} \\ \Rightarrow F(x) - F(x_0) = G(y) - G(y_0) \end{gather} \]显然，这里直接得到了不定积分法的最终结果 \(\eqref{eq2}\)
需要注意上式中两边定积分积分限的对应关系，即下限 \(x_0\) 对应 \(y_0\)，上限 \(x\) 对应 \(y\)
二阶常系数线性齐次微分方程¶
二阶常系数线性齐次微分方程形如
其中 \(a,\,b,\,c\) 均为常数，且 \(a \neq 0\)
假设解的形式为指数函数 \(\displaystyle y = e^{\lambda x}\)，其中 \(\lambda\) 是待定的常数，代入方程 \(\eqref{eq3}\) 得
此二次方程的判别式 \(\displaystyle \Delta = b^2 - 4ac\)
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当 \(\Delta > 0\) 时，方程 \(\eqref{eq4}\) 有两个不相等实根 \(\lambda_1\) 和 \(\lambda_2\)
\[ \lambda_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} ,\ \lambda_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \]此时，方程 \(\eqref{eq3}\) 的通解为
\[ y = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x} \]其中，\(C_1\) 和 \(C_2\) 是任意常数
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当 \(\Delta = 0\) 时，方程 \(\eqref{eq4}\) 有两个相等实根，记为 \(\lambda = \dfrac{-b}{2a}\)
此时，方程 \(\eqref{eq3}\) 的通解为
\[ y = \rb{C_1 + C_2 x} \tm \mr{e}^{\lambda x} \]其中，\(C_1\) 和 \(C_2\) 是任意常数
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当 \(\Delta < 0\) 时，方程 \(\eqref{eq4}\) 有一对共轭复根 \(\lambda_1 = \alpha + \beta \tm \mr{i}\) 和 \(\lambda_2 = \alpha - \beta \tm \mr{i}\)
其中，
\[ \alpha = \frac{-b}{2a} ,\ \beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a} \]此时，方程 \(\eqref{eq3}\) 的通解可化为
\[ y = \mr{e}^{\alpha x} \sb{C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x)} \]其中，\(C_1\) 和 \(C_2\) 是任意常数