常用坐标系
极坐标系¶
极坐标是一种二维坐标系统， 采用相对极轴转过的角度和到极点（原点）的距离来表示目标点的位置
在下图中，目标点 \(A\) 的位置矢量为 \(\vec{r}\)
在该极坐标中
- 极点：极坐标系的中心点 \(O\)（原点）
- 极轴：从极点出发的固定射线，通常与 \(x\) 轴正方向重合
- 距离：从极点到目标点 \(A\) 的距离为 \(r\)，\(r = \abs{\vec{r}\mkern{1mu}}\)
- 极角：从极轴转向径向距离的角度 \(\theta\)，以弧度或角度为单位。从极轴出发，沿逆时针方向转到 \(\vec{r}\)，则 \(\theta > 0\)；反之，沿顺时针方向，则 \(\theta < 0\)
Info
\(\theta\) 的周期为 \(2\pi\)，也就是说，\(\theta\) 与 \(\theta + 2 \pi n\)（\(n\) 为整数）表示相同的方向
与直角坐标系的变换关系¶
上图中，目标点 \(A\) 在极坐标系中的坐标为 \((r, \ \theta)\)，在直角坐标系中的坐标为 \((x, \ y)\)
- 极坐标系到直角坐标系
\[
\begin{cases}
x = r \cos\theta \\
y = r \sin\theta
\end{cases}
\]
- 直角坐标系到极坐标系
\[
r = \sqrt{x^2 + y^2}
\]
- 当 \(x > 0\) 时，\(\theta = \arctan \rb{\dfrac{y}{x}}\)
- 当 \(x < 0\) 时，\(\theta = \arctan \rb{\dfrac{y}{x}} \pm \pi\)（取正、负符号中的一个即可）
- 当 \(x = 0\) 时，若 \(y > 0\)，则 \(\theta = \pi/2\)；若 \(y < 0\)，则 \(\theta = -\pi/2\)
Info
大学物理中，对于计算结果为角度的问题，给出一个正确的值即可，不需要罗列所有可能的值。例如，计算得到 \(\theta = \pi/3\)，不需要写成 \(\theta = \pi/3 + 2\pi n \ (n \in N)\)