导数与微分

导数¶

导数是一种极限，描述函数在某一点附近的变化率（变化快慢）

导数等于因变量和自变量的变化量之比，并且当后者趋于 \(0\) 时的极限

对于函数 \(f(x)\)，在点 \(x_0\) 处的导数定义为：

\[ f'(x_0) = \lim_{\dt{x} \to 0} \frac{\dt{f}}{\dt{x}} \]

其中，\(\dt{x}\) 为自变量 \(x\) 在 \(x_0\) 附件的变化量，\(\displaystyle \dt{f} = f(x_0 + \dt{x}) - f(x_0)\)，为 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 附近的变化量

导数也可以写为如下的微商形式

\[ f'(x_0) := \left. \frac{\d{f}}{\d{x}} \right|_{x = x_0} \]

微商形式清晰准确，因此推荐采用

如下图所示，导数表示函数 \(f(x)\) 曲线在某一点切线的斜率

例如，要求 \(f(x)\) 在点 \(A\)，\((x_0,\, f(x_0))\)，处切线的斜率，则在 \(A\) 附近的曲线上另找一点 \(B\)，\((x_0+\dt{t},\, f(x_0+\dt{t}))\)，作通过 \(A\)、\(B\) 的割线，其斜率为

\[ \frac{f(x_0+\dt{t}) - f(x_0)}{\dt{x}} \]

当 \(\dt{x} \to 0\) 时，上式的结果就是函数 \(f(x)\) 在 \(x = x_0\) 处的斜率 \(f'(x_0)\)

函数 \(f(x)\) 在区间内每点处的导数构成的函数，记为 \(f'(x)\)，或者微商形式 \(\dfrac{\d{f(x)}}{\d{x}}\)

和差法则：\(\sb{f(x) \pm g(x)}' = f'(x) \pm g'(x)\)
乘积法则：\(\sb{f(x) g(x)}' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)\)
商法则：\(\sb{\dfrac{f(x)}{g(x)}}' = \dfrac{1}{g^2(x)} \sb{f'(x) g(x) - f(x) g'(x)}\)
链式法则（重要）：\(\dfrac{\d{f[y(x)]}}{\d{x}} = \dfrac{\d{f(y)}}{\d{y}} \dfrac{\d{y(x)}}{\d{x}}\)

微分是因变量随自变量变化的线性部分，用于近似函数的变化量

对于函数 \(f(x)\)，在点 \(x\) 处的微分表示为：

\[ \d{f(x)} = f'(x) \,\d{x} \tag{1} \label{eq:diff} \]

微分表示函数曲线在某一点附近沿切线的微小变化（\(\dt{x} \to 0\)）

如下图所示

函数 \(f(x)\) 在某个包含 \(x_0\) 的区间内可导
\(x\) 从 \(x_0\) 变化到 \(x_0 + \dt{x}\)，函数 \(f(x)\) 的实际变化

\[ \dt{f} = f(x_0 + \dt{x}) - f(x_0) = f'(x_0) \dt{x} + o(\dt{x}) \]

其中，\(f'(x_0) \dt{x}\) 对应 \(\d{f}\)，为线性部分；\(o(\dt{x})\) 为 \(\dt{x}\) 的高阶无穷小
当 \(\dt{x} \to 0\) 时，忽略高阶无穷小，用 \(\d{x}\) 替代 \(\dt{x}\) 就得到了式 \(\eqref{eq:diff}\)

微分是导数的具体应用，导数表示变化率，而微分表示具体的变化量

通过导数可以计算微分，反之亦然