一元函数积分
不定积分¶
不定积分，又称为“反导数”，是求一个函数的原函数的过程，该原函数的导数就是已知函数
对于函数 \(f(x)\)，其不定积分表示为：
其中，\(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的一个原函数（\(F'(x) = f(x)\)），\(C\) 是积分常数
常用不定积分公式¶
- 常数函数：\(\displaystyle \int A \,\d{x} = A x + C \ (A \text{为常数})\)
- 幂函数：\(\displaystyle \int x^n \,\d{x} = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C, \ (n \neq 1)\)
- 对数函数：\(\displaystyle \int \frac{1}{x} \,\d{x} = \ln x + C\)
- 指数函数：\(\displaystyle \int \mr{e}^x \,\d{x} = \mr{e}^x +C\)
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三角函数：
\[ \begin{align} &\int \sin x \,\d{x} = - \cos x + C, \ \int \cos x \,\d{x} = \sin x + C \\ &\int \tan x \,\d{x} = -\ln \abs{\cos x} + C, \ \int \cot x \,\d{x} = \ln \abs{\sin x} + C \\ &\int \sec^2 x \,\d{x} = \tan x + C, \ \int \csc^2 x \,\d{x} = - \cot x + C \end{align} \]\[ \begin{align} &\int \sin x \,\d{x} = - \cos x + C \\ &\int \cos x \,\d{x} = \sin x + C \\ &\int \tan x \,\d{x} = -\ln \abs{\cos x} + C \\ &\int \cot x \,\d{x} = \ln \abs{\sin x} + C \\ &\int \sec^2 x \,\d{x} = \tan x + C \\ &\int \csc^2 x \,\d{x} = - \cot x + C \end{align} \]
不定积分的性质¶
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线性性质：
\[ \int \sb{a f(x) + b \, g(x)} \,\d{x} = a \int f(x) \,\d{x} + b \int g(x) \,\d{x} \]\[ \begin{align} &\int \sb{a f(x) + b \, g(x)} \,\d{x} \\ &= a \int f(x) \,\d{x} + b \int g(x) \,\d{x} \end{align} \]其中，\(a, \, b\) 为常数
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分布积分法：\(\displaystyle \int u \,\d{v} = u v - \int v \,\d{u}\)
- 换元积分法：\(x\) 是 \(t\) 的函数，\(\displaystyle \int f(x) \,\d{x} = \int f\sb{x(t)} \frac{\d{x}}{\d{t}} \,\d{t}\)
定积分¶
定积分用于计算函数在某个区间上的累积量
函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上的定积分表示为：
其中，\(a\) 和 \(b\) 分别是积分的下限和上限，\(f(x)\) 是被积函数，\(\d{x}\) 则指明了积分变量为 \(x\)
定积分可表示为下列求和的极限
其中，\(\xi_i\) 的取值在区间 \([x_i, x_{i+1}]\) 中
几何意义¶
一元函数的定积分的结果，反映了该函数曲线与坐标轴横轴围成区域的有向面积
如下图所示，式 \(\eqref{eq:ii}\) 的求和项 \(f(\xi_i) \,\dt{x_i}\) 为位于区间 \([x_i, x_{i+1}]\) 中红色矩形的面积
当 \(\dt{x_i} \to 0\) 时，所有的红色矩形面积之和的极限，就是函数曲线 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 中与 \(x\) 轴围成的曲边梯形的有向面积
“有向面积”是指，当 \(f(x)\) 在 \(x\) 轴上方时，有向面积为正，在 \(x\) 轴下方时，有向面积为负
定积分的计算¶
牛顿 - 莱布尼茨（Newton - Leibniz）公式是计算定积分的重要工具
若 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的一个原函数，则：
定积分的性质¶
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线性性质：
\[ \int_{a}^{b} \sb{C_1 f(x) + C_2 \, g(x)} \,\d{x} = C_1 \int_{a}^{b} f(x) \,\d{x} + C_2 \int_{a}^{b} g(x) \,\d{x} \]\[ \begin{align} &\int_{a}^{b} \sb{C_1 f(x) + C_2 \, g(x)} \,\d{x} \\ &= C_1 \int_{a}^{b} f(x) \,\d{x} + C_2 \int_{a}^{b} g(x) \,\d{x} \end{align} \]其中，\(C_1\) 和 \(C_2\) 均为常数
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区间可加性：\(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,\d{x} + \int_{b}^{c} f(x) \,\d{x} = \int_{a}^{c} f(x) \,\d{x}\)
- 区间反转性质：\(\displaystyle \int_{b}^{a} f(x) \,\d{x} = - \int_{a}^{b} f(x) \,\d{x}\)
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换元积分法：若 \(x\) 是 \(t\) 的函数，\(x=x(t)\)
\[ \int_{x_1}^{x_2} f(x) \,\d{x} = \int_{t_1}^{t_2} f \sb{x(t)} \frac{\d{x}}{\d{t}} \,\d{t} \]其中，\(x_1 = x(t_1), \, x_2 = x(t_2)\)