简谐振动的动力学方程

弹簧振子

弹簧振子是一种经典的简谐振动系统，如下图所示

• 劲度系数为 \(k\) 的轻弹簧一端固定，另一端连接一个质量为 \(m\) 的物体
• 物体在弹簧的作用下沿 \(x\) 轴做往复运动，弹性力满足胡克定律，即 \({F} = -k x\)

弹簧振子

运动微分方程

根据牛顿第二定律 \(\displaystyle F = m a\)，将 \(a = \dfrac{\mr{d}^2 x}{{\d{t}}^2}\) 和 \(F = -k x\) 代入，可得

\[ - k x = m \frac{\mr{d}^2 x}{{\d{t}}^2} \]

由于 \(\dfrac{k}{m} > 0\)，将其记为 \(\omega^2\)，可得到弹簧振子的运动微分方程

\[ {\mr{d}^2 x \over {\d{t}}^2} + \omega^2 x = 0 \tag{1} \label{eq:springOscillator} \]

单摆

单摆是另一种简谐振动系统，如右图所示

• 一根长度为 \(L\) 的轻绳一段固定于点 \(C\)，另一端连接一个质量为 \(m\) 的小球（可视为质点），它们可在竖直平面内自由摆动
• 小球沿圆周运动的最低点为 \(O\)，\(OC\) 为此单摆的平衡位置，绳与竖直方向成的夹角为 \(\theta\)（摆角）
• 小球运动到

单摆

运动微分方程

复摆

复摆