2021 广西大学物理竞赛试题¶

一、选择题（单选，每题 3 分；共 12 题、36 分）¶

1. 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为 \(\displaystyle \vec{r} = bt\vec{j} + at^2\vec{i}\)（其中 \(a\)、\(b\) 为常量），则该质点的运动是： (A) 匀速直线运动 (B) 变速直线运动 (C) 抛物线运动 (D) 一般曲线运动答案：

2. 质点作曲线运动，\(\displaystyle \vec{r}\) 表示位置矢量，\(\displaystyle \vec{v}\) 表示速度，\(\displaystyle \vec{a}\) 表示加速度，\(S\) 表示路程，\(a_t\) 表示切向加速度，下列表达式中： (1) \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \vec{a}\) (2) \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} = \vec{v}\) (3) \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} = v\) (4) \(\displaystyle a_t = \frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}\) 选项： (A) 只有(1)、(4)是对的 (B) 只有(2)、(4)是对的 (C) 只有(2)是对的 (D) 只有(3)是对的答案：

3. 人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动，卫星轨道近地点和远地点分别为 \(A\) 和 \(B\)。用 \(L\) 和 \(E_K\) 分别表示卫星对地心的角动量及其动能的瞬时值，则应有： (A) \(L_A > L_B\)，\(E_{K_A} > E_{K_B}\) (B) \(L_A = L_B\)，\(E_{K_A} < E_{K_B}\) (C) \(L_A = L_B\)，\(E_{K_A} > E_{K_B}\) (D) \(L_A < L_B\)，\(E_{K_A} < E_{K_B}\) 答案：

4. 一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上，滑轮的转动惯量为 \(J\)，绳下端挂一物体。物体所受重力为 \(P\)，滑轮的角加速度为 \(\alpha\)。若将物体去掉而以与 \(P\) 相等的力直接向下拉绳子，滑轮的角加速度将会： (A) 不变 (B) 变小 (C) 变大 (D) 如何变化无法判断答案：

5. 质量为 \(m\) 的质点在外力作用下，其运动方程为： \(\displaystyle \vec{r} = B\cos\omega t\vec{j} + A\sin\omega t\vec{i}\) 式中 \(A\)、\(B\)、\(\omega\) 都是正的常量。由此可知外力在 \(t=0\) 到 \(t=\pi/(2\omega)\) 这段时间内所作的功为： (A) \(\displaystyle \frac{1}{2}m\omega^2(A^2 + B^2)\) (B) \(\displaystyle m\omega^2(A^2 + B^2)\) (C) \(\displaystyle \frac{1}{2}m\omega^2(A^2 - B^2)\) (D) \(\displaystyle \frac{1}{2}m\omega^2(B^2 - A^2)\) 答案：

6. 高斯定理 \(\displaystyle \oint \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \frac{1}{\varepsilon_0} \int \rho \mathrm{d}V\) (A) 适用于任何静电场 (B) 只适用于真空中的静电场 (C) 只适用于具有球对称性、轴对称性和平面对称性的静电场 (D) 只适用于虽然不具有(C)中所述的对称性、但可以找到合适的高斯面的静电场答案：

7. 下面列出的真空中静电场的场强公式，其中哪个是正确的? (A) 点电荷 \(q\) 的电场：\(\displaystyle \vec{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \hat{r}\)（\(r\) 为点电荷到电场的距离） (B) “无限长”均匀带电直线（电荷线密度 \(\lambda\)）的电场：\(\displaystyle \vec{E} = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} \hat{r}\)（\(r\) 为带电直线到场点的垂直距离） (C) “无限大”均匀带电平面（电荷面密度 \(\sigma\)）外的电场：\(\displaystyle \vec{E} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{n}\) (D) 半径为 \(R\) 的均匀带电球面（电荷面密度 \(\sigma\)）外电场：\(\displaystyle \vec{E} = \frac{\sigma R^2}{\varepsilon_0 r^2} \hat{r}\)（\(r\) 为球心到场点的距离）答案：

8. 如图所示，一个带电量为 \(q\) 的点电荷位于立方体的 \(A\) 角上，则通过侧面 \(abcd\) 的电场强度通量为: (A) \(\displaystyle \frac{q}{6\varepsilon_0}\) (B) \(\displaystyle \frac{q}{12\varepsilon_0}\) (C) \(\displaystyle \frac{q}{24\varepsilon_0}\) (D) \(\displaystyle \frac{q}{48\varepsilon_0}\) 答案：

9. 如图所示，一半径为 \(a\) 的“无限长”圆柱面上均匀带电，其电荷线密度为 \(\lambda\)。在它外面同轴地套一半径为 \(a'\) 的薄金属圆筒，圆筒原先不带电，但与地连接。设地的电势为零，则在内圆柱面里面、距离轴线为 \(r\) 的 \(P\) 点的场强大小和电势分别为： (A) \(E = 0\)，\(U = \displaystyle \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln\frac{a'}{a}\) (B) \(E = 0\)，\(U = \displaystyle \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln\frac{a}{a'}\) (C) \(E = \displaystyle \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\)，\(U = \displaystyle \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln\frac{a'}{r}\) (D) \(E = \displaystyle \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\)，\(U = \displaystyle \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln\frac{a'}{a}\) 答案：

10. 根据电介质中的高斯定理，下列推论正确的是： (A) 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，则曲面内一定没有自由电荷 (B) 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，则曲面内一定有极化电荷 (C) 介质中的高斯定理表明，电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关 (D) 介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关答案：

11. 长直导线中通有电流 \(I\)，长 \(l\) 的金属棒 \(AA'\) 与通电直导线共面并以速度 \(v\) 平行于长直导线作匀速运动。棒近导线一端与导线的距离为 \(a\)，则金属棒中的动生电动势为： (A) \(\displaystyle \frac{\mu_0 I v}{2\pi} \ln\frac{l}{a}\)，方向 \(A' \rightarrow A\) (B) \(\displaystyle \frac{\mu_0 I v}{2\pi} \ln\frac{l}{a}\)，方向 \(A \rightarrow A'\) (C) \(\displaystyle \frac{\mu_0 I v}{2\pi} \ln\frac{a + l}{a}\)，方向 \(A' \rightarrow A\) (D) \(\displaystyle \frac{\mu_0 I v}{2\pi} \ln\frac{a + l}{a}\)，方向 \(A \rightarrow A'\) 答案：

12. 一矩形导线框，以恒定的加速度 \(a\) 向右穿过一均匀磁场区，\(B\) 的方向如图所示。若取逆时针方向为电流正方向，则以下的 \(I-t\) 图中，能正确反映线框中电流与时间的定性关系的是： (A) (B) (C) (D) 答案：

二、填空题（每题 3 分，共 8 题、24 分）¶

1. 一悬挂的路灯距地面高度为 \(h_1\)，一个人身高为 \(h_2\)，人在灯下以匀速率 \(v\) 沿水平直线行走，如图所示。他的头顶在地上的影子 \(M\) 点沿地面移动的速度大小可以表示为 \(v_M = \) 。

2. 有一半径为 \(R\) 的匀质圆形水平转台，可绕通过盘心 \(O\) 且垂直于盘面的竖直固定轴 \(OO'\) 转动，转动惯量为 \(J\)。台上有一人，质量为 \(m\)。当他站在离转轴 \(r\) 处的时候（\(r < R\)），转台和人一起以 \(\omega_1\) 的角速度转动，如图。若转轴处摩擦可以忽略，问当人走到转台边缘时，转台和人一起转动的角速度 __。

3. 一定滑轮的质量为 \(m\)，半径为 \(r\)，一轻绳两边分别系质量为 \(m_1\) 和 \(m_2\) 的两物体挂于滑轮上，绳不伸长，绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角速度为零，则 \(m_1\) 下落了距离 \(x\) 时的加速度为_____。

4. 一条质量为 \(m\) 长为 \(l\) 的均匀链条，放在一摩擦系数为 \(\mu\) 的水平桌面上，链子的一端有一段长度为 \(a\) 的部分被推出桌子的边缘在重力作用下由静止开始下落，则到链条离开桌边的过程中，摩擦力对链条作的功的大小为：________。

5. 一半径为 \(R\) 均匀带电薄圆盘，电荷面密度为 \(\sigma\)，求其轴上离圆心距离为 \(x\) 处的电场强度的大小。 (1) \(R \gg x\)，\(E = \) (2) \(R \ll x\)，\(E = \)

6. 在半径为 \(R_1\) 和 \(R_2\) 的两个同轴金属圆筒之间，充满着相对介电常量为 \(\varepsilon_r\) 的均匀介质。设两筒上单位长度带有的电荷量分别为 \(+\lambda\) 和 \(-\lambda\)，则在介质当中离轴线距离为 \(r\) 的地方，电场强度的大小 \(E = \)。

7. 一空气平板电容器，平板面积为 \(S\)，两板间距为 \(d\)，两板间的电场场度的大小为 \(E\)，则电容器间贮存的电能为 \(W_e = \)。

8. 无限长直导线 \(abcde\) 弯成图所示的形状，并通有电流 \(I\)，\(bc\) 直线在 \(XOY\) 平面内，\(cd\) 是 \(YOZ\) 平面内半径为 \(R\) 的 1/4 圆弧，\(ab\)、\(de\) 分别在 \(X\) 轴和 \(Z\) 轴上。\(ob = oc = od = R\)。则 \(O\) 点处的磁感应强度 \(B_O = \)。

三、计算题（共 3 题、40 分）¶

1. 【16 分】质量为 \(m\)、半径为 \(R\) 的均质圆盘，可以绕穿过盘心的光滑竖直轴在水平桌面上转动，盘与桌面间的滑动摩擦系数为 \(\mu\)，若用外力使其角速度达到 \(\omega_0\) 时撤去外力。试求： (1) 此后圆盘还能转动多长时间？共转了多大角度？ (2) 上述过程中摩擦力矩做了多少功？

2. 【12 分】一个细玻璃棒被弯成半径为 \(R\) 的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷 \(+Q\)，沿其下半部分均匀分布有电荷 \(-Q\)，如图所示。试求圆心 \(O\) 处的电场强度和电势。

3. 【12 分】弯成 \(\theta\) 角的金属架 \(COD\) 放在磁场中，磁感应强度 \(B\) 的方向垂直于金属架 \(COD\) 所在平面，一导体杆 \(MN\) 垂直于 \(OD\) 边，在金属架上以恒定速度 \(v\) 向右滑动，\(v\) 与 \(MN\) 垂直，\(t = 0\) 时，\(x = 0\)，求下列两种情况时框架内的感应电动势 \(\varepsilon\)。 (1) 磁场分布均匀，且 \(B\) 不随时间改变； (2) 非均匀的时变磁场 \(B = kx \cos(\omega t)\)。