第四章课后习题

4-13

如图所示，质量 \(m_1 = 16 \,\mr{kg}\) 的实心圆柱体 \(A\)，其半径为 \(r = 15 \,\mr{cm}\)，可以绕其固定水平轴转动，阻力忽略不计。一条轻的柔绳绕在圆柱体上，其另一端系一个质量为 \(m_2 = 8.0 \,\mr{kg}\) 的物体 \(B\)，求：

1. 物体 \(B\) 由静止开始下降，\(1.0 \,\mr{s}\) 后下降的距离
2. 绳的张力

4-13题

参考解答

设绳子中的张力大小为 \(T\)

• 设物体 \(B\) 加速度为 \(a\)，根据牛顿定律，物体 \(B\) 满足（取竖直向上为正方向）

  \[ T - m_2 \tm g = m_2 \tm a \tag{1} \label{eq:4-13-1} \]

• 设物体 \(A\) 的转动惯量 \(\displaystyle J = \frac{1}{2} m_1 r^2\)，其受到的合力矩 \(\displaystyle M = -T r\)（取沿逆时针方向为转动的正方向），根据刚体的转动定律

  \[ - T r = J \alpha \tag{2} \label{eq:4-13-2} \]

• 由运动的约束可知

  \[ \displaystyle a = \alpha \tm r \tag{3} \label{eq:4-13-3} \]

由方程 \(\eqref{eq:4-13-1}\) 得：\(\displaystyle T = m_2 \rb{g+a}\)，代入 \(\eqref{eq:4-13-2}\)，并考虑 \(\eqref{eq:4-13-3}\)，得

\[ - m_2 \rb{g+a} \tm r = \frac{1}{2} m_1 \tm r a \]

化简得

\[ a = \frac{m_2 \tm g}{-\rb{m_2 + m_1/2}} = \frac{8 \times 10}{-\rb{8.0 + 16/2}} = -5 \,\mr{(m \cdot s^{-2})} \]

因此

1. 物体 \(B\) 作匀加速下落，在 \(1.0 \,\mr{s}\) 内下降

   \[ s = \frac{1}{2} \tm a \times \dt{t}^2 = \frac{1}{2} \times \rb{-5} \times 1^2 = -2.5 \,\mr{(m)} \]

   即物体 \(B\) 由静止开始下降，\(1.0 \,\mr{s}\) 后下降的距离为 \(2.5 \,\mr{m}\)

2. 将 \(a = -5\) 代入 \(\eqref{eq:4-13-1}\)，得

   \[ T = m_2 \rb{g + a} = 8.0 \times \rb{10 - 5} = 40 \,\mr{(N)} \]

   因此，绳的张力大小为 \(40 \,\mr{N}\)

4-18

一通风机的转动部分以初角速度 \(\omega_0\) 绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，比例系数 \(c\) 为一常量。若转动部分对其轴的转动惯量为 \(J\)，问：

1. 经过多少时间后其角速度减少为初角速度的一半？
2. 在此时间内共转过多少圈？

参考解答

1. 依题意可知，通风机叶片受到的阻力矩 \(\displaystyle M = -c \tm \omega\)，根据转动定律 \(M = J \alpha\) 及 \(\displaystyle \alpha = \frac{\d{\omega}}{\d{t}}\)，得

   \[ -c \tm \omega = J \frac{\d{\omega}}{\d{t}} \]

   分离变量，得

   \[ \d{t} = - \frac{J}{c} \frac{\d{\omega}}{\omega} \]

   设 \(t\) 时刻的角速度为 \(\omega\)，则

   \[ \int_0^t \d{t} = \int_{\omega_0}^{\omega} -\frac{J}{c} \frac{\d{\omega}}{\omega} \]

   计算得

   \[ t = -\frac{J}{c} \ln \frac{\omega}{\omega_0} \ \text{或}\ \omega = \omega_0 \tm \mr{e}^{-c \tm t / J} \]

   将 \(\omega = \omega_0/2\) 代入上式，得

   \[ t = \frac{J}{c} \ln 2 \]

2. 根据刚体定轴转动角速度的定义

   \[ \omega = \frac{\d{\theta}}{\d{t}} = \omega_0 \mr{e}^{-c \tm t / J} \]

   分离变量，得

   \[ \d{\theta} = \omega_0 \tm \mr{e}^{-c \tm t / J} \d{t} \]

   设 \(t = \rb{J/c} \ln 2\) 时刻的角位置为 \(\theta\)，则

   \[ \int_0^\theta \d{\theta} = \int_0^{\rb{J/c} \ln 2} \omega_0 \tm \mr{e}^{-c \tm t / J} \d{t} \ \Rightarrow\ \theta = \frac{J \omega_0}{2c} \]

   转过的圈数 \(\displaystyle n = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{J \omega_0}{4\pi c}\)

4-22

在光滑的水平面上有一木杆，其质量 \(m_1 = 1.0 \,\mr{kg}\)，长 \(l = 40 \,\mr{cm}\)，可绕通过其中点并与之垂直的轴转动，如图所示。一质量为 \(m_2 = 10 \,\mr{g}\) 的子弹，以 \(v = 2.0 \times 10^2 \,\mr{m} \cdot \mr{s}^{-1}\) 的速度射入杆端，其方向与杆及轴正交。若子弹陷入杆中，试求所得到的角速度。

4-22题

参考解答

依题意可知，木杆和子弹组成得系统（绕点 \(O\) 转动），在碰撞的过程中角动量守恒，设子弹陷入杆中，它们共同的角速度为 \(\omega'\)

• 碰撞前角动量：\(\displaystyle L_1 = m_2 v \rb{\frac{l}{2}}\)
• 碰撞后角动量：\(\displaystyle L_2 = m_2 \tm \omega' \rb{\frac{l}{2}}^2 + J_1 \omega'\)

其中，\(\displaystyle J_1 = \frac{1}{12} m_1 l^2\) 为木杆的转动惯量。根据角动量守恒，有 \(L_1 = L_2\)，即

\[ m_2 v \rb{\frac{l}{2}} = \omega' \rb{ \frac{m_2 l^2}{4} + \frac{m_1 l^2}{12} } \]

化简得

\[ \omega' = \frac{6 m_2 v}{l \rb{m_1 + 3 m_2}} \]

将 \(m_1 = 1.0\)、\(m_2 = 10\)、\(l = 40\) 和 \(v = 2.0 \times 10^2\) 代入上式，得：\(\omega' \approx 29.1 \,\mr{(rad \cdot s^{-1})}\)

4-32

如图所示，一质量为 \(m\) 的小球由一绳索系着，以角速度 \(\omega_0\) 在无摩擦的水平面上作半径为 \(r_0\) 的圆周运动。如果在绳的另一端作用一竖直向下的拉力 \(F\)，使小球作半径为 \(r_0 / 2\) 的圆周运动，试求：

1. 小球新的角速度
2. 拉力所做的功

4-32题

参考解答

小球相对于绕转点的位矢 \(\vec{r}\) 与绳子拉力 \(\vec{T}\) 平行，\(\vec{T}\) 对于小球的力矩 \(\displaystyle \vec{M} = \vec{r} \times \vec{T} = \vec{0}\)。因此，小球在绕转的过程中角动量守恒

1. 小球作半径为 \(r_0\) 的圆周运动时的角动量 \(\displaystyle L_1 = m \tm \omega_0 r_0^2\)；设半径变为 \(r_0/2\) 时的角速度为 \(\omega\)，此时的角动量 \(\displaystyle L_2 = m \tm \omega \rb{r_0/2}^2\)，由角动量守恒可得：\(L_1 = L_2\)，即

   \[ m \tm \omega_0 r_0^2 = m \tm \omega \tm \rb{r_0/2}^2 \]

   化简得：\(\displaystyle \omega = 4 \omega_0\)

2. 根据动能定理，拉力做工等于小球动能的变化量，即

   \[ W = E_\mr{k} - E_{\mr{k}0} = \frac{1}{2} m \rb{\omega \frac{r_0}{2}}^2 - \frac{1}{2} m \rb{\omega_0 r_0}^2 = \frac{3}{2} m \tm \omega_0^2 r_0^2 \]

4-33

质量为 \(0.50 \,\mr{kg}\)，长为 \(0.40 \,\mr{m}\) 的均匀细棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴转动。如将此棒放在水平位置，然后任其落下，如图所示。求：

1. 当棒转过 \(60^\circ\) 时的角加速度和角速度
2. 下落到竖直位置时的动能
3. 下落到竖直位置时的角速度

4-33题

参考解答

1. 细棒绕端点转动的转动惯量 \(\displaystyle J = \frac{m L^2}{3}\)。当棒转动到与水平方向的角为 \(\theta\) 处，重力对棒的力矩

   \[ M = \int_0^L \frac{mg}{L} l \cos\theta \,\d{l} = \frac{1}{2} mg L \cos\theta \]

   根据刚体的转动定律，\(M = J \alpha\)，即

   \[ \frac{1}{2} mg L \cos\theta = \frac{m L^2}{3} \alpha \ \Rightarrow\ \alpha = \frac{3g \cos\theta}{2 L} \tag{1} \label{eq:4-33-1} \]

   当 \(\theta = 60^\circ\) 时，角加速度

   \[ \alpha = \frac{3 \times 10 \times \cos 60^\circ}{2 \times 0.4} = 18.75 \,\mr{(rad \cdot s^{-2})} \]

   设此时的角速度为 \(\omega\)，根据角加速度的定义 \(\displaystyle \alpha = \frac{\d{\omega}}{\d{t}}\)

   \[ \alpha = \frac{\d{\omega}}{\d{t}} = \frac{\d{\omega}}{\d{\theta}} \frac{\d{\theta}}{\d{t}} = \frac{\omega \,\d{\omega}}{\d{\theta}} \]

   考虑式 \(\eqref{eq:4-33-1}\)，并分离变量，得

   \[ \omega \,\d{\omega} = \frac{3g \cos\theta }{2 L} \,\d{\theta} \]

   设转过的角度为 \(\theta\) 时，角速度为 \(\omega\)，则

   \[ \int_0^\omega \omega \,\d{\omega} = \int_0^\theta \frac{3g \cos\theta}{2 L} \,\d{\theta} \ \Rightarrow\ \frac{1}{2}\omega^2 = \frac{3g}{2L} \sin\theta \tag{2} \label{eq:4-33-2} \]

   当 \(\theta = 60^\circ\) 时，角速度

   \[ \omega = \sb{ \frac{3g \sin\rb{\pi/3}}{L} }^{1/2} = \rb{\frac{3 \times 10 \times \sin {60^\circ}}{0.4}}^{1/2} \approx 8.06 \,\mr{(rad \cdot s^{-1})} \]

2. 下落到竖直位置时，\(\theta = \dfrac{\pi}{2}\)，根据式 \(\eqref{eq:4-33-2}\) 动能

   \[ E_\mr{k} = \frac{1}{2} J \omega^2 = \frac{m L^2}{3} \frac{3g}{2L} \sin\theta \]

   将 \(m=0.50\)、\(L=0.40\)、\(\theta=\pi/2\)、\(g=10\) 代入上式，得：\(E_\mr{k} = 1 \,\mr{(J)}\)

3. 由 \(\eqref{eq:4-33-2}\) 得

   \[ \omega = \sqrt{\frac{3g \sin\theta}{L}} \]

   将 \(L=0.40\)、\(\theta=\pi/2\)、\(g=10\) 代入上式，得：\(\omega \approx 8.66 \,\mr{(rad \cdot s^{-1})}\)

4-34

如图所示，两飞轮 \(A\) 与 \(B\) 的轴杆可由摩擦啮合器连接起来。\(A\) 轮的转动惯量为 \(J_1 = 10.0 \,\mr{kg} \cdot \mr{m}^2\)，开始时 \(B\) 轮静止，\(A\) 轮以 \(n_1 = 600 \,\mr{r} \cdot \mr{min}^{-1}\) 的转速转动，然后使 \(A\) 与 \(B\) 连接，因此 \(B\) 轮得到加速而 \(A\) 轮减速，直到两轮的转速都等于 \(n = 200 \,\mr{r} \cdot \mr{min}^{-1}\) 为止。求：

1. \(B\) 轮的转动惯量
2. 在啮合过程中损失的机械能

4-34题

参考解答

1. 依题意可知

   \[ \omega_1 = 20 \pi \,\mr{rad \cdot s^{-1}},\ \omega_2 = \frac{20 \pi}{3} \,\mr{rad \cdot s^{-1}} \]

   设 \(B\) 轮的转动惯量为 \(J_2\)，根据角动量守恒，有

   \[ J_1 \omega_1 = \rb{J_1 + J_2} \omega_2 \]

   化简得

   \[ J_2 = \frac{\omega_1 - \omega_2}{\omega_2} J_1 = \frac{20\pi - (20/3)\pi}{(20/3)\pi} \times 10 = 20 \,\mr{(kg \cdot m^2)} \]

2. 啮合过程中损失的机械能

   \[ \dt{E} = \frac{1}{2} \rb{J_1 + J_2} \tm \omega_2^2 - \frac{1}{2} J_1 \tm \omega_1^2 \]

   将 \(J_1 = 10.0\)、\(J_2 = 20.0\)、\(\omega_1 = 20 \pi\)、\(\omega_2 = (20/3) \pi\) 代入上式，得：\(\displaystyle \dt{E} \approx -1.32 \times 10^4 \,\mr{(J)}\)