第五章课后习题

5-10

若电荷 \(Q\) 均匀地分布在长为 \(L\) 的细棒上，求证：

1. 在棒的延长线上，且离棒中心为 \(r\) 处的电场强度为 \(E=\dfrac{1}{\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{4 r^2 - L^2}\)
2. 在棒的垂直平分线上，且离棒为 \(r\) 处的电场强度为 \(E=\dfrac{1}{2\pi\varepsilon_0 r}\dfrac{Q}{\sqrt{4 r^2 + L^2}}\)

若棒为无限长（即 \(L\rightarrow\infty\)），试将结果与无限长均匀带电直导线的电场强度比较。

参考解答

1. 若点 \(P\) 在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点 \(P\) 激发的电场强度方向相同，

   \[ E = \int_L dE i \]

   延长线上一点 \(P\) 的电场强度 \(E = \int \dfrac{dq}{4\pi\varepsilon_0 r'^2}\)，利用几何关系 \(r' = r - x\) 统一积分变量，则

   \[ E_p = \int_{-L/2}^{L/2} \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{Q dx}{L (r - x)^2} = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 L} \left( \dfrac{1}{r - L/2} - \dfrac{1}{r + L/2} \right) = \dfrac{1}{\pi\varepsilon_0} \dfrac{Q}{4 r^2 - L^2} \]

   电场强度的方向沿 \(x\) 轴。

2. 若点 \(P\) 在棒的垂直平分线上，则电场强度 \(E\) 沿 \(x\) 轴方向的分量因左右对称，叠加为零。因此，点 \(P\) 的电场强度为

   \[ E = \int_L dE_y = \int_L \sin \alpha dE j \]

   中垂线上一点 \(P\) 的电场强度 \(E\) 的方向沿 \(y\) 轴，大小为

   \[ E = \int_{-L/2}^{L/2} \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{r Q dx}{L (x^2 + r^2)^{3/2}} = \dfrac{Q}{2\pi\varepsilon_0 r} \dfrac{1}{\sqrt{L^2 + 4 r^2}} \]

若棒单位长度所带电荷 \(\lambda\) 为常量，当棒长 \(L \rightarrow \infty\) 时，点 \(P\) 的电场强度为

\[ E = \lim_{L \rightarrow \infty} \dfrac{1}{2\pi\varepsilon_0 r} \dfrac{Q/L}{\sqrt{1 + 4 r^2 / L^2}} = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} \]

如图 (b) 所示，此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同。这说明只要满足 \(r^2 / L^2 \ll 1\)，带电长直细棒可视为无限长带电直线。

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5-15

设匀强电场的电场强度 \(E\) 与半径为 \(R\) 的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量。

参考解答

方法 1：由电场强度通量的定义，对半球面 \(S\) 求积分，即 \(\Phi_e = \int_S E \cdot dS\)

方法 2：如图所示，作半径为 \(R\) 的平面 \(S'\) 与半球面 \(S\) 一起构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理得

\[ \oint_S E \cdot dS = \dfrac{1}{\varepsilon_0} \sum q_i = 0 \]

这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿过平面 \(S'\) 的电场强度通量在数值上等于穿出半球面 \(S\) 的电场强度通量。因而

\[ \Phi_e = \int_S E \cdot dS = -\int_{S'} E \cdot dS \]

解 1：取球坐标系，电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为

\[ \Phi_e = \int_S E \cdot dS = \int_S E R^2 \sin^2 \theta d\theta d\varphi = \pi R^2 E \]

解 2：由于闭合曲面内无电荷分布，根据高斯定理，有

\[ \Phi_e = \int_S E \cdot dS = -\int_{S'} E \cdot dS \]

依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元 \(dS\) 的方向，有

\[ \Phi_e = -E \cdot \pi R^2 \cdot \cos \pi = \pi R^2 E \]

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5-22

一个内外半径分别为 \(R_1\) 和 \(R_2\) 的均匀带电球壳，其电荷为 \(Q_1\)，球壳外同心罩一个半径为 \(R_3\) 的均匀带电球面，其电荷为 \(Q_2\)。求电场分布。电场强度是否为与球心距离 \(r\) 的连续函数？试分析。

参考解答

取半径为 \(r\) 的同心球面为高斯面，由分析可知：

• \(r < R_1\)，高斯面内无电荷，\(E_1 = 0\)

• \(R_1 < r < R_2\)，高斯面内电荷 \(\Sigma q = \dfrac{Q_1 (r^3 - R_1^3)}{R_2^3 - R_1^3}\)，故

  \[ E_2 = \dfrac{Q_1 (r^3 - R_1^3)}{4 \pi \varepsilon_0 (R_2^3 - R_1^3) r^2} \]

• \(R_2 < r < R_3\)，高斯面内电荷为 \(Q_1\)，故

  \[ E_3 = \dfrac{Q_1}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \]

• \(r > R_3\)，高斯面内电荷为 \(Q_1 + Q_2\)，故

  \[ E_4 = \dfrac{Q_1 + Q_2}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \]

电场强度的方向均沿径矢方向。在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续。在紧贴 \(r = R_3\) 的带电球面两侧，电场强度的跃变量

\[ \Delta E = E_4 - E_3 = \dfrac{Q_2}{4 \pi \varepsilon_0 R_3} = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0} \]

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5-23

半径为 \(R\) 的无限长直圆柱体内均匀分布着电荷，电荷体密度为 \(\rho\)。试求离轴线为 \(r\) 处的电场强度 \(E\)，并画出 \(E\)-\(r\) 曲线。

参考解答

作同轴圆柱面为高斯面。根据高斯定理：

• \(r < R\)

  \[ E \cdot 2 \pi r L = \rho \cdot \pi r^2 L / \varepsilon_0 \]
  \[ E = \dfrac{\rho r}{2 \varepsilon_0} e_r \]

• \(r \geq R\)

  \[ E \cdot 2 \pi r L = \rho \cdot \pi R^2 L / \varepsilon_0 \]
  \[ E = \dfrac{\rho R^2}{2 \varepsilon_0 r} e_r \]

\(E\)-\(r\) 曲线如图 (b) 所示。

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5-24

两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为 \(R_1\) 和 \(R_2\) (\(R_2 > R_1\))，单位长度所带的电荷为 \(\lambda\)。求离轴线为 \(r\) 处的电场强度：

1. \(r < R_1\)
2. \(R_1 < r < R_2\)
3. \(r > R_2\)

参考解答

作同轴圆柱面为高斯面。根据高斯定理：

• \(r < R_1\)

  \[ \Sigma q = 0 \]
  \[ E_1 = 0 \]

• \(R_1 < r < R_2\)

  \[ \Sigma q = \lambda L \]
  \[ E_2 = \dfrac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r} \]

• \(r > R_2\)

  \[ \Sigma q = 0 \]
  \[ E_3 = 0 \]

在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变

\[ \Delta E = \dfrac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r} = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0} \]

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5-25

如图所示，三个点电荷 \(Q_1\)、\(Q_2\)、\(Q_3\) 沿一条直线等间距分布，且 \(Q_1 = Q_3 = Q\)。已知其中任一点电荷所受合力均为零，求在固定 \(Q_1\)、\(Q_3\) 的情况下，将 \(Q_2\) 从点 \(O\) 移到无穷远处外力所做的功。

参考解答

解 1：

由题意 \(Q_1\) 所受的合力为零：

\[ Q_1 \dfrac{Q_2}{4 \pi \varepsilon_0 d^2} + Q_1 \dfrac{Q_3}{4 \pi \varepsilon_0 (2 d)^2} = 0 \]

解得：

\[ Q_2 = -\dfrac{1}{4} Q_3 = -\dfrac{1}{4} Q \]

由点电荷电场的叠加原理，垂直于电荷连线作 \(Q_1\)、\(Q_3\) 的中垂线，并取中垂线为 \(y\) 轴，电荷 \(Q_1\)、\(Q_3\) 在 \(y\) 轴上任意一点激发的电场强度为

\[ E = E_{1y} + E_{3y} = \dfrac{Q y}{2 \pi \varepsilon_0 (d^2 + y^2)^{3/2}} \]

将 \(Q_2\) 从点 \(O\) 沿 \(y\) 轴移到无穷远处，外力所做的功为

\[ W = -\int_0^\infty Q_2 E \cdot dL = -\int_0^\infty \left( -\dfrac{1}{4} Q \right) \dfrac{Q y}{2 \pi \varepsilon_0 (d^2 + y^2)^{3/2}} dy = \dfrac{Q^2}{8 \pi \varepsilon_0 d} \]

解 2：

由任一点电荷所受合力均为零得 \(Q_2 = -\dfrac{1}{4} Q\)。由电势的叠加得 \(Q_1\)、\(Q_3\) 在点 \(O\) 电势

\[ V_0 = \dfrac{Q_1}{4 \pi \varepsilon_0 d} + \dfrac{Q_3}{4 \pi \varepsilon_0 d} = \dfrac{Q}{2 \pi \varepsilon_0 d} \]

将 \(Q_2\) 从点 \(O\) 推到无穷远处的过程中，外力做的功为

\[ W' = -Q_2 V_0 = \dfrac{Q^2}{8 \pi \varepsilon_0 d} \]

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5-31

两个同心球面的半径分别为 \(R_1\) 和 \(R_2\)，各自带有电荷 \(Q_1\) 和 \(Q_2\)。求：

1. 各区域电势的分布，并画出分布曲线。
2. 两球面上的电势差。

参考解答

解 1：

1. 由高斯定理可求电场分布：

• \(E_1 = 0\) （\(r < R_1\)）
• \(E_2 = \dfrac{Q_1}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} e_r\) （\(R_1 < r < R_2\)）
• \(E_3 = \dfrac{Q_1 + Q_2}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} e_r\) （\(r > R_2\)）

由电势定义 \(V = \int_r^\infty E \cdot dL\) 可求得各区域的电势分布：

• 当 \(r \leq R_1\) 时：

  \[ V_1 = \dfrac{Q_1}{4 \pi \varepsilon_0 R_1} + \dfrac{Q_2}{4 \pi \varepsilon_0 R_2} \]

• 当 \(R_1 \leq r \leq R_2\) 时：

  \[ V_2 = \dfrac{Q_1}{4 \pi \varepsilon_0 r} + \dfrac{Q_2}{4 \pi \varepsilon_0 R_2} \]

• 当 \(r \geq R_2\) 时：

  \[ V_3 = \dfrac{Q_1 + Q_2}{4 \pi \varepsilon_0 r} \]

2. 两个球面间的电势差：

   \[ U_{12} = \int_{R_1}^{R_2} E_2 \cdot dL = \dfrac{Q_1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \dfrac{1}{R_1} - \dfrac{1}{R_2} \right) \]

解 2：

1. 由各球面电势的叠加计算电势分布：

• 若该点位于两个球内，即 \(r \leq R_1\)：

  \[ V_1 = \dfrac{Q_1}{4 \pi \varepsilon_0 R_1} + \dfrac{Q_2}{4 \pi \varepsilon_0 R_2} \]

• 若该点位于两个球面之间，即 \(R_1 \leq r \leq R_2\)：

  \[ V_2 = \dfrac{Q_1}{4 \pi \varepsilon_0 r} + \dfrac{Q_2}{4 \pi \varepsilon_0 R_2} \]

• 若该点位于两个球面之外，即 \(r \geq R_2\)：

  \[ V_3 = \dfrac{Q_1 + Q_2}{4 \pi \varepsilon_0 r} \]

2. 两个球面间的电势差为：

   \[ U_{12} = \left| V_1 - V_2 \right|_{r=R_1} = \dfrac{Q_1}{4 \pi \varepsilon_0 R_1} - \dfrac{Q_1}{4 \pi \varepsilon_0 R_2} \]