角动量和角动量守恒

角动量

角动量又称为“动量矩”或“转动动量”，是描述物体旋转运动的重要物理量

角动量是一个矢量，习惯用符号 \(\vec{L}\) 表示，它反映了物体的旋转惯性和旋转速度的综合效应

角动量的国际标准单位为 \(\mr{kg \cdot m^2 \cdot s^{-1}}\)

单个质点的角动量

单个质点的角动量定义为质点相对于某固定点的位矢 \(\vec{r}\) 与其动量 \(\vec{p}\) 的矢量积，即

\[ \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times \rb{m \vec{v}\tm} \]

刚体定轴转动的角动量

刚体的角动量是刚体内所有质点角动量的矢量和

作定轴转动的刚体，其转动惯量和角速度分别为 \(J\) 和 \(\vec{\omega}\)，则它的角动量

\[ \vec{L} = J \vec{\omega} \tag{1.1} \label{eq:amorb} % Angular momentum of a rigid body \]

备注

在描述单个质点角动量时，要指明其绕转的固定点；在描述刚体定轴转动的角动量时，要指明其转轴

角动量定理

角动量定理描述了角动量变化的快慢与合外力矩之间的关系

具体来说，角动量对时间的变化率等于作用在该物体上的合力矩

单个质点的角动量定理

质点角动量对时间的变化率等于作用在该质点上合力的力矩

\[ \frac{\d{\vec{L}}}{\d{t}} = \vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} \]

其中，\(M\) 为合力力矩，\(\vec{r}\) 为质点相对于固定点的位矢，\(\vec{F}\) 为作用在质点上的合力

刚体定轴转动的角动量定理

刚体作定轴转的动角动量对时间的变化量等于其受到的合外力矩

\[ \frac{\d{\vec{L}}}{\d{t}} = \vec{M}^\mr{ex} \]

其中，\(\vec{M}^\mr{ex}\) 为刚体受到的合外力矩。上式就是刚体定轴转动角动量定理的微分形式

若 \(\vec{M}^\mr{ex}\) 可表示为时间 \(t\) 的函数，考虑到式 \(\eqref{eq:amorb}\)，则可对上式分离变量 \(\d{\vec{L}} = \d{\rb{J \vec{\omega}}} = \vec{M}^\mr{ex} \,\d{t}\)，两边求定积分可得

\[ J \vec{\omega}_1 - J \vec{\omega}_0 = \int_{t_0}^{t_1} \vec{M}^\mr{ex} \,\d{t} \]

其中，\(\vec{\omega}_0\) 和 \(\vec{\omega}_1\) 分别为 \(t_0\) 和 \(t_1\) 时刻刚体的角速度

角动量守恒

当系统（质点或刚体）所受的合外力矩为零时，其总角动量保持恒定，这就是角动量守恒定理

公式表述

\[ \vec{M}^\mr{ex} = \vec{0} ,\ \vec{L} = \vec{L}_0 \]

其中，\(\vec{L}_0\) 为系统在初始时刻的总角动量