附录¶

转动定律的推导¶

模型介绍¶

将一个定轴转动的刚体划分为多个微元（编号依次为 $1,2, \cdots N$），并取出第 $i$ 号和第 $j$ 号微元作为研究对象

其中，第 $i$ 号微元（红色）

质量为 $m_i$，相对于其所在参考平面轴点（$O_i$）的位矢为 $\vec{r}_i$
受到的外部合力在其参考平面上的投影为 $\vec{F}_{i}^\mr{ex}$，该作用力在沿着和垂直 $\vec{r}_i$ 方向的分量分别为 $\vec{F}_{i,\mr{n}}^\mr{ex}$ 和 $\vec{F}_{i,\mr{t}}^\mr{ex}$
受到来自第 $j$ 号微元的内部作用力为 $\vec{F}_{ij}$，该作用力在通过点 $O$ 的公共参考平面上的投影为 $\vec{f}_{ij}$

第 $j$ 号微元（蓝色）

相对于其所在参考平面轴点（$O_j$）的位矢为 $\vec{r}_j$
受到来自第 $i$ 号微元的内部作用力为 $\vec{F}_{ji}$，该作用力在通过点 $O$ 的公共参考平面上的投影为 $\vec{f}_{ji}$

第 $i$ 号微元，在参考平面上受到的合力

\[ \vec{F}_i = \vec{F}_i^\mr{ex} + \sum_{j=1}^N \vec{f}_{ij} \tag{1}\label{eq:rforp} % The resultant force on the reference plane \]

力矩分析¶

根据力矩的定义，$\vec{F}_i$ 对应的力矩

\[ \vec{M}_i = \vec{r}_i \times \vec{F}_i = \vec{r}_i \times \rb{\vec{F}_i^\mr{ex} + \sum_{j=1}^N \vec{f}_{ij}} \]

整个刚体受到的合力矩（所有力矩的矢量之和）

\[ \vec{M} = \sum_{i=1}^N \vec{M}_i = \sum_{i=1}^N \rb{\vec{M}_i^\mr{ex} + \vec{M}_i^\mr{in}} \tag{2}\label{eq:rmatrb} % The resultant moment applied to a rigid body \]

\[ \begin{align} \vec{M} &= \sum_{i=1}^N \vec{M}_i\\ &= \sum_{i=1}^N \rb{\vec{M}_i^\mr{ex} + \vec{M}_i^\mr{in}} % The resultant moment applied to a rigid body \end{align} \]

其中

$\displaystyle \vec{M}_i^\mr{ex} = \vec{r}_i \times \vec{F}_i^\mr{ex}$ 为第 $i$ 号微元受到的外部作用力的力矩
$\displaystyle \vec{M}_i^\mr{in} = \sum_{j=1}^N \vec{r}_i \times \vec{f}_{ij}$ 为第 $i$ 号微元受到的内部作用力的力矩

式 $\eqref{eq:rmatrb}$ 中

\[ \begin{gather} \sum_{i=1}^N \vec{M}_i^\mr{in} = \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \vec{r}_i \times \vec{f}_{ij} \\ = \sum_{i<j}^N \rb{ \vec{r}_i \times \vec{f}_{ij} + \vec{r}_j \times \vec{f}_{ji} } \end{gather} \tag{3}\label{eq:rmatrb2} \]

由于 $\vec{F}_{ji} = -\vec{F}_{ij}$（作用力和反作用力），作为它们在公共参考平面上的投影，$\vec{f}_{ji} = - \vec{f}_{ij}$

考虑到 $\rb{\vec{r}_i - \vec{r}_j}$ 与 $\vec{f}_{ij}$ 平行，式 $\eqref{eq:rmatrb2}$ 可化为

\[ \sum_{i<j} \sb{\rb{\vec{r}_i - \vec{r}_j} \times \vec{f}_{ij}} = \vec{0}, \ \text{即}\ \sum_{i=1}^N \vec{M}_i^\mr{in} = \vec{0} \]

也就是说，刚体内部作用力的合力矩为零

合力矩为零的另一种分析

从图中可以看出，$\vec{f}_{ij}$ 与 $\vec{f}_{ji}$ 拥有共同的力臂 $OD$。由于这两个力的大小相等方向相反，它们的力矩相互抵消，力矩之和为零。

因此，整个刚体受到的合力矩 $\eqref{eq:rmatrb}$ 为

\[ \vec{M} = \sum_{i=1}^N \vec{M}_i^\mr{ex} = \vec{M}^\mr{ex} \tag{4}\label{eq:rmatrb3} \]

综上所述，计算刚体的合力矩时，只需要考虑其外力的合力矩

动力学分析¶

根据牛顿第二定律

\[ \vec{F}_i = m_i \tm \vec{a}_i = m_i \rb{\tm \vec{a}_{i,\mr{t}} + \vec{a}_{i,\mr{n}}} \]

其中，$\vec{a}_i$、$\vec{a}_{i,\mr{t}}$ 和 $\vec{a}_{i,\mr{n}}$ 分别为第 $i$ 号质点的加速度、切向加速度和法向加速度

由于 $\vec{a}_{i,\mr{n}}$ 与 $\vec{r}_i$ 平行，因此，$\vec{r}_i \times \vec{a}_{i,\mr{n}} = \vec{0}$。合力 $\vec{F}_i$ 对应的力矩

\[ \vec{M}_i = \vec{r}_i \times \vec{F}_i = m_i \tm \vec{r}_i \times \vec{a}_{i,\mr{t}} \]

考虑到 $\vec{a}_{i,\mr{t}} = \vec{\alpha} \times \vec{r}_i$，$\vec{\alpha}$ 为刚体的角加速度。上式可写为¹

\[ \vec{M}_i = m_i r_i^2 \vec{\alpha} \]

对上式两边的编号求和，并考虑公式 $\eqref{eq:rmatrb3}$

\[ \begin{align} & \text{左边：} \sum_{i=1}^N \vec{M}_i = \vec{M}^\mr{ex} \\ & \text{右边：} \sum_{i=1}^N m_i r_i^2 \vec{\alpha} \end{align} \]

记 $\displaystyle J = \sum_{i=1}^N m_i r_i^2$，为刚体的转动惯量

最终，刚体的转动定律可写为

\[ \boxed{ \vec{M}^\mr{ex} = J \vec{\alpha} } \]

连续分布物体转动惯量推导¶

连续分布的物体，可被视为若干微元的组合

第 $i$ 号微元的质量的体积为 $\dt{v}_i$，密度为 $\rho_i$，则其质量 $\dt{m}_i = \rho_i \tm \dt{v}_i$

考虑微元的体积 $\dt{v}_i \to 0$，该连续分布物体的转动惯量

\[ J = \lim_{\dt{v}_i \to 0} \sum_{i=1}^N \rho_i \tm \dt{v}_i \tm r_i^2 % sum form of the moment of inertia of a continuously distributed body \]

在趋于极限时，上式中的各项可视作如下的变化

\[ \dt{v}_i \to \d{v}, \, \rho_i \to \rho(\vec{r}\tm), \, r_i \to r, \lim_{\dt{v}_i \to 0} \sum_{i=1}^N \to \int_V \]

因此，连续分布物体的转动惯量可写为

\[ J = \int_{V} \rho \tm r^2 \,\d{v} \tag{5}\label{eq:micdo} % The moment of inertia of a continuously distributed object \]

均质细杆转动惯量推导¶

如下图所示，均质细杆的长度为 $L$，质量为 $m$，绕垂直于细杆的轴转动，该转轴到细杆两个端点的距离分别为 $r$ 和 $L-r$

在细杆上转轴的一侧，距转轴 $x$ 处，选取一段长度为 $\d{x}$ 的微元

细杆单位长度的质量（线密度） $\lambda = \dfrac{m}{L}$，该微元的质量 $\d{m} = \lambda \,\d{x} = \dfrac{m}{L} \,\d{x}$，转动惯量

\[ \d{J} = x^2 \,\d{m} = x^2 \frac{m}{L} \,\d{x} \]

因此，细杆的总转动惯量

\[ \begin{align} J & = \underbrace{\int_0^r x^2 \frac{m}{L} \,\d{x}}_{\displaystyle \text{长为 $r$ 的部分}} + \underbrace{\int_{0}^{L-r} x^2 \frac{m}{L} \,\d{x}}_{\displaystyle \text{长为 $L-r$ 的部分}} \\ & = \frac{m r^3}{3L} + \frac{m \rb{L-r}^3}{3L} \\ & = \frac{m}{3L} \sb{r^3 + \rb{L-r}^3} \end{align} \]

当 $r = L/2$ 时，细杆绕垂直通过其中心的轴转动，转动惯量

\[ I = \frac{mL^2}{12} \]
当 $r = 0$ 或 $r = L$ 时，细杆绕垂直通过其端点的轴转动，转动惯量

\[ I = \frac{mL^2}{3} \]

均质细圆环转动惯量推导¶

均质细圆环的质量为 $m$，半径为 $R$，转轴通过环心，转动惯量的推导考虑下列两种典型情况

转轴垂直于环面¶

在细圆环上取一个质量为 $\d{m}$ 的微元（视为质点），该微元到转轴的距离为 $R$，转动惯量

\[ \d{J} = R^2 \,\d{m} \]

如图所示，微元的弧长 $\d{s} = R \,\d{\theta}$，圆环单位长度的质量（线密度）$\lambda = \dfrac{m}{2 \pi R}$，则微元质量

\[ \d{m} = \lambda \,\d{s} = \frac{m}{2 \pi R} R \,\d{\theta} = \frac{m}{2\pi} \,\d{\theta} \]

完整的圆环对应 $\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$，因此，整个圆环的转动惯量

\[ J = \int \d{J} = \int_0^{2\pi} R^2 \frac{m}{2\pi} \,\d{\theta} = m R^2 \tag{6}\label{eq:mitr} % Moment of inertia of a thin ring \]

转轴在环面上¶

在细圆环上取一个质量为 $\d{m}$ 的微元（视为质点），如图所示，该微元到转轴的距离 $r = R \sin\theta$，转动惯量

\[ \d{J} = R^2 \, {\sin^2 \theta} \,\d{m} \]

微元的弧长 $\d{s} = R \,\d{\theta}$，圆环单位长度的质量（线密度）$\lambda = \dfrac{m}{2 \pi R}$，则微元质量

\[ \d{m} = \lambda \,\d{s} = \frac{m}{2 \pi R} R \,\d{\theta} = \frac{m}{2\pi} \,\d{\theta} \]

完整的圆环对应 $\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$，因此，整个圆环的转动惯量

\[ \begin{align} J &= \int \d{J} = \int_0^{2\pi} R^2 \, {\sin^2 \theta} \tm\frac{m}{2\pi} \,\d{\theta} \\ &= \frac{m R^2}{2 \pi} \left. \frac{1}{2} \sb{1 - \frac{1}{2} \sin \rb{2\theta}} \right|_0^{2\pi} \,\d{\theta} = \frac{1}{2} m R^2 \end{align} \]

\[ \begin{align} J &= \int \d{J} = \int_0^{2\pi} R^2 \, {\sin^2 \theta} \tm\frac{m}{2\pi} \,\d{\theta} \\ &= \frac{m R^2}{2 \pi} \left. \frac{1}{2} \sb{1 - \frac{1}{2} \sin \rb{2\theta}} \right|_0^{2\pi} \,\d{\theta} \\ &= \frac{1}{2} m R^2 \end{align} \]

均质圆筒转动惯量推导¶

如下图所示，均质圆筒的质量为 $m$，其内部空洞的半径为 $r_1$，外部的半径为 $r_2$，绕轴通过筒心的轴转动

此圆筒的体积为 $V = \pi \rb{r_2^2 - r_1^2} h$，密度

\[ \rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{\pi \rb{r_2^2 - r_1^2} h} \]

在圆筒内部，半径为 $r$ 的地方取一个厚度为 $\d{r}$ 的薄壁圆筒（蓝色），再在该薄壁圆筒上取一个高度为 $\d{z}$ 的细圆环（红色），该微元的质量

\[ \d{m} = \rho \,\d{V} = \frac{m}{\pi \rb{r_2^2 - r_1^2} h} 2\pi r \,\d{r} \,\d{z} = \frac{2 m r}{h \rb{r_2^2 - r_1^2}} \,\d{r} \,\d{z} \]

\[ \begin{align} \d{m} &= \rho \,\d{V} = \frac{m}{\pi \rb{r_2^2 - r_1^2} h} 2\pi r \,\d{r} \,\d{z}\\ &= \frac{2 m r}{h \rb{r_2^2 - r_1^2}} \,\d{r} \,\d{z} \end{align} \]

根据细圆环的转动惯量公式 $\eqref{eq:mitr}$，微元的转动惯量

\[ \d{J} = r^2 \,\d{m} = \frac{2 m r^3}{h \rb{r_2^2 - r_1^2}} \,\d{r} \,\d{z} \]

因此，圆筒的总转动惯量

\[ J = \int \d{J} = \int_0^h \int_{r_1}^{r_2} \frac{2 m r^3}{h \rb{r_2^2 - r_1^2}} \,\d{r} \,\d{z} = \frac{m}{2} \rb{r_1^2 + r_2^2} \]

\[ \begin{align} J &= \int \d{J} = \int_0^h \int_{r_1}^{r_2} \frac{2 m r^3}{h \rb{r_2^2 - r_1^2}} \,\d{r} \,\d{z} \\ &= \frac{m}{2} \rb{r_1^2 + r_2^2} \end{align} \]

积分 $\displaystyle \int_0^h \int_{r_1}^{r_2} \frac{2 m r^3}{h \rb{r_2^2 - r_1^2}} \,\d{r} \,\d{z}$ 的计算

这个二重积分可以化为两个独立积分的乘积

\[ \frac{2m}{h \rb{r_2^2 - r_1^2}} \int_0^h \d{z} \int_{r_1}^{r_2} r^3 \,\d{r} \]

其中，

\[ \begin{gather} \int_0^h \d{z} = h \\ \int_{r_1}^{r_2} r^3 \,\d{r} = \frac{1}{4} r^4 \bigg|_{r_1}^{r_2} = \frac{1}{4} \rb{r_2^4 - r_1^4} \end{gather} \]

考虑到 $\displaystyle \rb{r_2^4 - r_1^4} = \rb{r_2^2 + r_1^2}\rb{r_2^2 - r_1^2}$，合并结果并化简

\[ \begin{align} & \frac{2m}{h\rb{r_2^2 - r_1^2}} \cdot h \cdot \frac{1}{4} \rb{r_2^4 - r_1^4}\\ &= \frac{2m}{r_2^2 - r_1^2} \frac{\rb{r_2^2 + r_1^2}\rb{r_2^2 - r_1^2}}{4}\\ &= \frac{m}{2} \rb{r_1^2 + r_2^2} \end{align} \]

均质薄球壳转动惯量推导¶

如下图所示，均质薄球壳的质量为 $m$，半径为 $R$，绕轴通过球心的轴转动

球壳上单位面积的质量（面密度）$\sigma = \dfrac{m}{4 \pi R^2}$

在球面上，对应极角为 $\theta$ 的圆周附近，取一个宽度为 $\d{s}$ 的带状微元，$\d{s}$ 与其对应的极角微元 $\d{\theta}$ 的关系为 $\d{s} = R \,\d{\theta}$

将此带状微元视为一个均质细圆环，其半径 $r = R \sin\theta$，面积

\[ \d{A} = 2 \pi r \,\d{s} = 2 \pi R^2 \sin\theta \,\d{\theta} \]

微元质量

\[ \d{m} = \sigma \,\d{A} = \dfrac{m}{4\pi R^2} \tm 2 \pi R^2 \sin\theta \,\d{\theta} = \dfrac{m}{2} \sin\theta \,\d{\theta} \]

\[ \begin{align} \d{m} &= \sigma \,\d{A} = \dfrac{m}{4\pi R^2} \tm 2 \pi R^2 \sin\theta \,\d{\theta} \\ &= \dfrac{m}{2} \sin\theta \,\d{\theta} \end{align} \]

微元的转动惯量

\[ \d{J} = r^2 \,\d{m} = R^2 \sin^2 \theta \tm \frac{m}{2} \sin\theta \,\d{\theta} = \frac{mR^2}{2} \tm \sin^3 \theta \,\d{\theta} \]

\[ \begin{align} \d{J} &= r^2 \,\d{m} = R^2 \sin^2 \theta \tm \frac{m}{2} \sin\theta \,\d{\theta} \\ &= \frac{mR^2}{2} \tm \sin^3 \theta \,\d{\theta} \end{align} \]

整个薄球壳对应极角 $\theta$ 从 $0$ 到 $\pi$。因此，薄球壳的转动惯量

\[ J = \int \d{J} = \int_0^{\pi} \frac{mR^2}{2} \tm \sin^3\theta \,\d{\theta} = \frac{2}{3} m R^2 \tag{7}\label{eq:mictss} % Moment of inertia of crystalline thin spherical shell \]

\[ \begin{align} J &= \int \d{J} = \int_0^{\pi} \frac{mR^2}{2} \tm \sin^3\theta \,\d{\theta} \\ &= \frac{2}{3} m R^2 % Moment of inertia of crystalline thin spherical shell \end{align} \]

积分 $\displaystyle \int_0^\pi \sin^3 \theta \,\d{\theta}$ 的计算

使用三角恒等式

\[ \int \sin^3 \theta \,\d{\theta} = \int \rb{1 - \cos^2 \theta} \sin \theta \,\d{\theta} \]

记 $u = \cos\theta$，上式化为

\[ \int - \rb{1-u^2} \,\d{u} = -u + \frac{1}{3} u^3 + C \]

因此，$\displaystyle \int \sin^3 \theta \,\d{\theta} = - \cos\theta + \frac{1}{3} \cos^3 \theta + C$

\[ \int_0^\pi \sin^3 \theta \,\d{\theta} = \left.\rb{ - \cos\theta + \frac{1}{3} \cos^3 \theta} \right|_0^\pi \\ = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \]

均质球体转动惯量推导¶

如下图所示，均质球体的质量为 $m$，半径为 $R$，绕通过球心的轴转动，其体密度 $\rho = \dfrac{m}{(4/3) \pi R^3}$

球体可视多个同心薄球壳沿半径方向的叠加，在半径为 $r$ 处，取一个厚度为 $\d{r}$ 的薄球壳微元，其体积

\[ \d{v} = 4 \pi r^2 \,\d{r} \]

质量

\[ \d{m} = \rho \,\d{v} = \frac{m}{(4/3) \pi R^3} \tm 4 \pi r^2 \,\d{r} = \frac{3 m r^2}{R^3} \,\d{r} \]

\[ \begin{align} \d{m} &= \rho \,\d{v} = \frac{m}{(4/3) \pi R^3} \tm 4 \pi r^2 \,\d{r} \\ &= \frac{3 m r^2}{R^3} \,\d{r} \end{align} \]

根据薄球壳转动惯量，式 $\eqref{eq:mictss}$，微元的转动惯量

\[ \d{J} = \frac{2}{3} r^2 \,\d{m} = \frac{2m r^4}{R^3} \,\d{r} \]

整个球体对应半径 $r$ 从 $0$ 到 $R$。因此，球体的转动惯量

\[ J = \int \d{J} = \int_0^R \frac{2m r^4}{R^3} \,\d{r} = \frac{2}{5} m R^2 \]

质点角动量定理推导¶

质量为 $m$ 的质点相对于固定点 $O$ 的位矢为 $\vec{r}$，运动速度为 $\vec{v}$，则该质点相对于 $O$ 的角动量

\[ \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} \]

考虑到 $\vec{r}$ 和 $\vec{p}$ 都是时间 $t$ 函数，角动量 $\vec{L}$ 对时间求导

\[ \frac{\d{\vec{L}}}{\d{t}} = \frac{\d{\vec{r}}}{\d{t}} \times \vec{p} + \vec{r} \times \frac{\d{\vec{p}}}{\d{t}} \]

上式中

$\displaystyle \frac{\d{\vec{r}}}{\d{t}} = \vec{v}$，其与动量 $\vec{p}$ 平行，因此，$\displaystyle \frac{\d{\vec{r}}}{\d{t}} \times \vec{p} = \vec{0}$
$\displaystyle \frac{\d{\vec{p}}}{\d{t}} = \vec{F}$，为质点受到的合力

根据力矩的定义，合力矩 $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$，因此

\[ \frac{\d{\vec{L}}}{\d{t}} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{M} \]

刚体角动量公式推导¶

质量微元，质量为 $m_i$，到转轴的距离为 $r_i$，刚体转动的角速度 $\vec{\omega}$

微元的速度和角动量分别为

\[ \vec{v}_i = \vec{\omega} \times \vec{r}_i,\ \vec{L}_i = \vec{r}_i \times \rb{m_i \vec{v}_i} \]

由于质点作圆周运动，因此，速度 $\vec{v}_i = \vec{\omega} \times \vec{r}_i$，代入上式，有

\[ \vec{L}_i = \vec{r}_i \times \rb{m_i \vec{\omega} \times \vec{r}_i} = m_i \sb{ \vec{\omega} \rb{\vec{r}_i \cdot \vec{r}_i} - \vec{r}_i \rb{\vec{r}_i \cdot \vec{\omega}} } \]

\[ \begin{align} \vec{L}_i &= \vec{r}_i \times \rb{m_i \vec{\omega} \times \vec{r}_i} \\ &= m_i \sb{ \vec{\omega} \rb{\vec{r}_i \cdot \vec{r}_i} - \vec{r}_i \rb{\vec{r}_i \cdot \vec{\omega}} } \end{align} \]

对于定轴转动 $\vec{r} \cdot \vec{\omega} = 0$，因此，$\displaystyle \vec{L}_i = m_i r_i^2 \tm \vec{\omega}$，刚体的角动量

\[ \vec{L} = \sum_{i=1}^N \vec{L}_i = \rb{\sum_{i=1}^N m_i r_i^2} \vec{\omega} \]

考虑刚体的转动惯量 $\displaystyle J = \sum_{i=1}^N m_i \tm r_i^2$，则有

\[ \vec{L} = J \vec{\omega} \]

平行轴定理的证明¶

如下图所示，质量为 $m$ 的刚体包含 $N$ 个质量微元，其中

第 $i$ 个质量微元的质量为 $m_i$，其相对于质心、质心轴轴点和平行轴轴点的位矢分别为 $\vec{c}_i$、$\vec{u}_i$ 和 $\vec{v}_i$
质心轴和平行轴之间的间距为 $d$
在质心轴与平行轴确定的平面内，单位矢量 $\vec{e}_1$ 和 $\vec{e}_2$ 如图所示

质量微元相对于平行轴的转动惯量

\[ J_i = m_i \abs{\vec{v}_i}^2 = m_i \vec{v}_i^2 \]

其中，$\vec{v}_i = \vec{u}_i - d \,\vec{e}_2$，代入上式，有

\[ J_i = m_i \rb{\vec{u}_i - d \,\vec{e}_2}^2 = m_i \rb{\vec{u}_i^2 + d^2 - 2 d \tm \vec{u}_i \cdot \vec{e}_2} \]

因此，刚体总的转动惯量

\[ J = \sum_{i=1}^N J_i = \underbrace{\sum_{i=1}^N m_i \vec{u}_i^2}_{\displaystyle (1)} + \underbrace{\sum_{i=1}^N m_i d^2}_{\displaystyle (2)} - \underbrace{2d \sum_{i=1}^N m_i \vec{u}_i \cdot \vec{e}_2}_{\displaystyle (3)} \]

上式中，第 $(1)$ 部分为绕质心轴的转动惯量，记为 $J_\mr{c}$；第 $(2)$ 部分的结果为 $m d^2$；第 $(3)$ 部分中，$\vec{u}_i = \vec{c}_i - \vec{e}_1$，由于 $\vec{e}_1 \perp \vec{e}_2$，因此 $\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 = 0$，该部分化为

\[ 2d \sum_{i=1}^N m_i \vec{c}_i \cdot \vec{e}_2 \]

其中，$\vec{c}_i$ 可表为 $\vec{r}_i - \vec{r}_\mr{c}$，$\vec{r}_i$ 和 $\vec{r}_\mr{c}$ 分别为第 $i$ 个质量微元和质心相对于原点的位矢，因此，上式中

\[ \sum_{i=1}^N m_i \vec{c}_i = \sum_{i=1}^N m_i \rb{\vec{r}_i - \vec{r}_\mr{c}} = \sum_{i=1}^N m_i \vec{r}_i - \sum_{i=1}^N m_i \vec{r}_\mr{c} = \sum_{i=1}^N m_i \vec{r}_i - m \vec{r}_\mr{c} \]

考虑质心的定义 $\displaystyle \vec{r}_\mr{c} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^N m_i \vec{r}_i$，因此，第 $(3)$ 部分的结果为 $\vec{0}$

综上所述，平行轴的转动惯量

\[ J = J_\mr{c} + m d^2 \]

这就是刚体的平行轴定理

根据矢量积运算规则

\[ \vec{r}_i \times \rb{\vec{\alpha} \times \vec{r}_i} = \rb{\vec{r}_i \cdot \vec{r}_i} \vec{\alpha} - \rb{\vec{r}_i \cdot \vec{\alpha}} \vec{r}_i \]

对于定轴转动，$\vec{r}_i \perp \vec{\alpha}$，上式中第二项为 $\vec{0}$，因此

\[ \vec{r}_i \times \rb{\vec{\alpha} \times \vec{r}_i} = r_i^2 \tm \vec{\alpha} \]

↩