力矩和转动定律

力矩

力矩又称为“转矩”，是作用力促使刚体绕着转轴或支点转动的趋向，可以改变刚体的角速度

力矩是一个矢量，通常用 \(\vec{M}\) 表示，其国际标准单位为 牛 \(\cdot\) 米 \(\mr{\rb{N \cdot m}}\)

力矩和转动定律（点 \(O\) 处的 \(\vec{F}\) 来自于点 \(P\) 处 \(\vec{F}\) 的平移）

如上图所示，刚体内一点 \(P\) 所在参考平面与转轴交于点 \(O\)，\(P\) 相对于 \(O\) 的位矢为 \(\vec{r}\)，其受到的作用力，在参考平面内的投影为 \(\vec{F}\)，则力矩

\[ \vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} \]

方向和大小

根据矢量积的运算规则，力矩 \(\vec{M}\) 的方向垂直于参考平面，与 \(\vec{r}\) 和 \(\vec{F}\) 成右手螺旋关系¹

力矩 \(\vec{M}\) 的大小

\[ M = r F \sin\theta = F d \]

其中，\(d = r \sin\theta\)，为点 \(O\) 到 \(\vec{F}\) 作用线的距离（图中 \(OD \perp \vec{F}\) ），为作用力 \(\vec{F}\) 的“力臂”

力矩的可加性

刚体上各部分可以同时受到多个力的作用 \(\vec{F}_1, \, \vec{F}_2, \cdots\)，每个作用力都会形成对应的力矩 \(\vec{M}_1, \, \vec{M}_2, \cdots\)

刚体的合力矩就等于各个力矩的矢量之和

\[ \vec{M} = \vec{M}_1 + \vec{M}_2 + \cdots = \sum_i \vec{M}_i \]

对于定轴转动，各个力矩都平行于转轴

当规定沿转轴的某个方向为正方向时，各力矩的矢量之和也可以表示为代数之和

转动定律

刚体绕定轴转动时，其角加速度与所受的合外力矩成正比，与转动惯量成反比

公式表述

\[ \vec{M} = J \vec{\alpha} \]

其中，\(\alpha\) 为角加速度，\(J\) 表示转动惯量，其表达式为

\[ J = \sum_i {m}_i \tm r_i^2 \]

其中

• 求和 \(\displaystyle \sum_i\) 中的下标 \(i\) 代表微元的编号，该球和遍历所有微元
• \({m}_i\) 为第 \(i\) 个微元的质量，\(r_i\) 为第 \(i\) 个微元到转轴的距离

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1. 将点 \(P\) 处 \(\vec{F}\) 平移到 \(O\) 处后，再沿小于 \(180^\circ\) 的角 \(\theta\) 从 \(\vec{r}\) 转向 \(\vec{F}\) ↩