力矩做功和刚体动能定理¶

力矩做功¶

力矩做功是指刚体在力矩的作用下绕定轴转动而作的功

力矩做功的符号为 \(W\)，其国际标准单位为 \(\mr{J}\)

对于定轴转动，刚体受到某个力的力矩为 \(\vec{M}\)，其转过的角位移微元为 \(\d{\vec{\theta}}\)，则该力矩的元功

\[ \d{W} = \vec{M} \cdot \d{\vec{\theta}} \]

当规定了沿着转轴的某个方向为正方向后，力矩的元功可以写成

\[ \d{W} = M \,\d{\theta} \]

其中，\(M\) 和 \(\d{\theta}\) 分别为力矩和转过的角位移微元在正方向的分量

刚体在力矩 \(M\) 的作用下，绕定轴从角位置 \(\theta_1\) 转到角位置 \(\theta_2\)，力矩做功

\[ W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} M \,\d{\theta} \]

单位时间内力矩对刚体所作的功称为力矩的功率

力矩做功的功率通常用 \(P\) 表示，其国际标准单位为 \(\mr{J \cdot s^{-1}}\)

\[ P = \frac{\d{W}}{\d{t}} = \vec{M} \cdot \frac{\d{\vec{\theta}}}{\d{t}} = \vec{M} \cdot \vec{\omega} \]

其中，\(\vec{\omega}\) 为刚体的角速度

作定轴转动的刚体，其动能

\[ E_\mr{k} = \frac{1}{2} J \omega^2 \]

其中，\(J\) 为刚体的转动惯量，\(\omega\) 为刚体的角速度

合外力矩对绕定轴转动刚体所作的功 \(W\)，等于刚体转动动能的增量 \(\dt{E_\mr{k}}\)。其公式表述为

\[ W = \dt{E_\mr{k}} \]

其中

\(\displaystyle W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} M^\text{ex} \,\d{\theta}\) 为合外力矩作的功
\(\displaystyle \dt{E_\mr{k}} = \frac{1}{2} J (\omega_2^2 - \omega_1^2)\) 为刚体转动动能的增量

其中，\(\omega_1\) 和 \(\omega_2\) 分别为刚体转动在 \(t_1\) 时刻和 \(t_2\) 时刻的角速度